Seja f(x, y, z)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\ln \left(4-x^{2}-y\right.
(a) Calcule f(1,1,1).
(b) Determine o domínio de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\ln\bigl(4 - x^2 - y\bigr)
e pede:
(a) o valor de f(1,1,1);
(b) o domínio de f.
Para resolver, precisamos usar as condições de existência de cada termo: raízes quadradas exigem argumentos \ge0 e logaritmo natural exige argumento >0.

Passo 2

Para calcular f(1,1,1) basta substituir x=1, y=1 e z=1:
\sqrt{1}+\sqrt{1}+\sqrt{1}+\ln\bigl(4 - 1^2 - 1\bigr) =1+1+1+\ln(4-1-1) =3+\ln(2).

Passo 3

Analisando domínio:
  1. Cada raiz quadrada está definida se
x\ge0,\quad y\ge0,\quad z\ge0.
  1. O logaritmo natural está definido se o argumento for estritamente positivo:
4 - x^2 - y > 0.

Passo 4

Juntando as condições, o domínio de f é o conjunto dos tripletos (x,y,z) tais que
x\ge0,\quad y\ge0,\quad z\ge0,\quad x^2+y<4.

Resposta

(a) f(1,1,1)=3+\ln(2).
(b) \displaystyle D=\{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0,\;x^2+y<4\}.

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