Esboçe o gráfico das funções.
f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x.
O conteúdo envolve estudo de funções reais: domínio, zeros, interceptos, derivadas para achar extremos e ponto de inflexão, e comportamento nos infinities.

Passo 2

Vamos começar pelos zeros e interceptos. Factorizando f:
f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x = x\,(2x^{2}-3x-12) = x\,(2x+3)\,(x-4).
Portanto os zeros são \,x=0,\;x=-\tfrac32,\;x=4.
O intercepto com o eixo y ocorre em x=0, dando f(0)=0.

Passo 3

Agora a primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}-3x^{2}-12x\bigr) =6x^{2}-6x-12 =6\bigl(x^{2}-x-2\bigr) =6(x-2)(x+1).
Os pontos críticos são x=-1 e x=2.
Calculando f nesses pontos:
f(-1)=2(-1)^{3}-3(-1)^{2}-12(-1)= -2 -3 +12 =7,
f(2)=2\cdot8 -3\cdot4 -12\cdot2=16-12-24=-20.
Para classificar usamos a segunda derivada:
f''(x)=12x-6.
Em x=-1, f''(-1)=-18<0 indica máximo local em (-1,7).
Em x=2, f''(2)=18>0 indica mínimo local em (2,-20).

Passo 4

Ponto de inflexão vem de f''(x)=0:
12x-6=0\implies x=\tfrac12,\quad f\bigl(\tfrac12\bigr)=2\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}-3\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-12\bigl(\tfrac12\bigr)= -6,5.
Logo inflexão em \bigl(\tfrac12,-6,5\bigr).
Quanto ao comportamento em \pm\infty: \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty (cúbica com coeficiente líder positivo).

Passo 5

Resumo da variação:
– Cresce em (-\infty,-1),
– Decresce em (-1,2),
– Cresce em (2,+\infty).
Para esboçar, marque:
• Zeros em x=-\tfrac32,0,4.
• Máximo em (-1,7).
• Mínimo em (2,-20).
• Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac12,-6,5\bigr).
A curva sai de -\infty, sobe até (-1,7), desce atravessando zero em -\tfrac32 e 0, alcança mínimo em (2,-20), e volta a subir passando por (4,0) e indo a +\infty.

Resposta

O esboço do gráfico de f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x apresenta:
  1. Zeros em \,x=-\tfrac32,\;0,\;4.
  2. Máximo local em (-1,7).
  3. Mínimo local em (2,-20).
  4. Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac12,-6,5\bigr).
  5. Cresce em (-\infty,-1)\cup(2,+\infty) e decresce em (-1,2).
    A curva sai de -\infty, sobe ao máximo em (-1,7), desce ao mínimo em (2,-20) e depois sobe indefinidamente.

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