Questão 1. Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Se as sequências convergem, encontre seus limites.
\left\{\frac{\ln (n)}{n^{2}}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
a_{n} = \frac{\ln(n)}{n^{2}}
à medida que n\to\infty. Vamos usar noções de limite de sequência e, para facilitar, estudar o comportamento da função contínua
f(x) = \frac{\ln(x)}{x^{2}},\quad x>0
quando x\to\infty.

Passo 2

Como f é contínua em (0,\infty) e a_{n}=f(n), vale
\lim_{n\to\infty}a_{n} \;=\; \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}.
O limite à direita é uma indeterminação do tipo \infty/\infty, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}[x^{2}] = 2x.
Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{2x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x^{2}} =0.

Passo 4

Como o limite da função é 0, concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Portanto, a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n^{2}} = 0.

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