Esboce o gráfico das funções.
Passo 1
A questão pede para esboçar o gráfico da função
. O conteúdo envolve hipérboles, assíntotas e interceptos. Vamos precisar encontrar domínio, assíntotas, interceptos e comportamento nos extremos.
Passo 2
Reescrevemos a função para identificar sua forma básica. Dividindo o numerador por
temos:
Isso mostra que é uma hipérbole obtida a partir de
Passo 3
Determinamos o domínio e as assíntotas. Como há divisão por
, o domínio é
.
• Assíntota vertical: (não está no domínio).
• Assíntota horizontal: , pois quando
,
e
.
• Assíntota vertical:
• Assíntota horizontal:
Passo 4
Encontramos os interceptos com os eixos.
• Intercepto em : resolvemos
:
• Intercepto em
Logo o ponto
• Intercepto em
Passo 5
Analisamos o comportamento para entender o formato dos ramos.
• Quando ,
(o ramo se aproxima de
por cima).
• Quando ,
e
.
• Quando ,
(se aproxima de
por baixo).
• Quando ,
e
.
Com isso vemos o ramo no primeiro quadrante para e no terceiro quadrante para
.
• Quando
• Quando
• Quando
• Quando
Com isso vemos o ramo no primeiro quadrante para
Passo 6
Esboçamos o gráfico usando todas as informações: desenhe as retas
e
como assíntotas, marque o ponto
, e trace os ramos da hipérbole approachando as assíntotas conforme descrito.
Resposta
O gráfico é uma hipérbole obtida de
com assíntotas vertical
e horizontal
, intercepto em
e ramos localizados no primeiro e terceiro quadrantes.