Questão 4. (2,0 pontos) Resolva a equação diferencial
0 o, com
, utilizando o método da fator integrante.
Passo 1
A equação diferencial dada é do tipo M(x,y)+N(x,y)·(dy/dx)=0 com
M(x,y)=3x2y+8xy2 e N(x,y)=x3+8x2y+12y^2. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante. Para resolver vamos precisar verificar se é exata (ou achar um fator integrante), depois construir a função potencial Ψ(x,y).
M(x,y)=3x2y+8xy2 e N(x,y)=x3+8x2y+12y^2. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante. Para resolver vamos precisar verificar se é exata (ou achar um fator integrante), depois construir a função potencial Ψ(x,y).
Passo 2
Calculo de exatidão: primeiro computo ∂M/∂y e ∂N/∂x. Temos
e
Como são iguais, a equação é exata e o fator integrante é simplesmente
.
Passo 3
Buscamos então uma função potencial Ψ(x,y) tal que
e
. Integramos M em relação a x:
Passo 4
Para determinar h(y), derivamos Ψ em relação a y e igualamos a N:
Passo 5
Logo
, integrando em y:
Passo 6
Como o
pode ser absorvido na constante geral, a função potencial completa é
Passo 7
A solução geral implícita é
, isto é
Passo 8
Impondo a condição inicial
, obtemos
Resposta
A solução com a condição inicial é dada implicitamente por