Questão 4. (2,0 pontos) Resolva a equação diferencial 3 x^2 y+8 x y^2+(x^3+8 x^2 y+12 y^2) d y / d x= 0 o, com y(2)=1, utilizando o método da fator integrante.

Passo 1

A equação diferencial dada é do tipo M(x,y)+N(x,y)·(dy/dx)=0 com
M(x,y)=3x2y+8xy2 e N(x,y)=x3+8x2y+12y^2. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante. Para resolver vamos precisar verificar se é exata (ou achar um fator integrante), depois construir a função potencial Ψ(x,y).

Passo 2

Calculo de exatidão: primeiro computo ∂M/∂y e ∂N/∂x. Temos
partial Mpartial y=3x^2+16xy
e
partial Npartial x=3x^2+16xy
Como são iguais, a equação é exata e o fator integrante é simplesmente mu(x,y)=1.

Passo 3

Buscamos então uma função potencial Ψ(x,y) tal que partial Ψ/partial x=M e partial Ψ/partial y=N. Integramos M em relação a x:
Ψ(x,y)=integral(3x^2y+8xy^2),dx = x^3y+4x^2y^2 + h(y)

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos Ψ em relação a y e igualamos a N:
partial Ψpartial y=x^3+8x^2y + h'(y) = x^3+8x^2y+12y^2

Passo 5

Logo h'(y)=12y^2, integrando em y:
h(y)=4y^3 + C1

Passo 6

Como o C1 pode ser absorvido na constante geral, a função potencial completa é
Ψ(x,y)=x^3y+4x^2y^2+4y^3

Passo 7

A solução geral implícita é Ψ(x,y)=C, isto é
x^3y+4x^2y^2+4y^3=C

Passo 8

Impondo a condição inicial y(2)=1, obtemos
C=2^3cdot1 +4cdot2^2cdot1^2 +4cdot1^3 =8+16+4=28

Resposta

A solução com a condição inicial é dada implicitamente por
x^3y + 4x^2y^2 + 4y^3 = 28

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