Esboce o gráfico das funções:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
Isso envolve estudar domínio, simetria, interceptos, extremos, concavidade e pontos de inflexão de uma função polinomial de quarto grau.
Passo 2
Domínio e simetria.
O domínio de é todo o conjunto dos reais, pois polinômios são definidos em
. Como
O domínio de
a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Interceptos e raízes.
O intercepto em ocorre em
, dando
O intercepto em
Para encontrar raízes, resolvemos
logo
(raiz dupla) e
(raízes simples).
Passo 4
Pontos críticos e classificação.
Calculamos a derivada
Calculamos a derivada
que se anula em
Para classificar, observamos o sinal de :
Para classificar, observamos o sinal de
- Em
, (decrescente). - Em
, (crescente). - Em
, (decrescente). - Em
, (crescente).
Portanto
é mínimo local e
é máximo local, e simetricamente
é outro mínimo local.
Passo 5
Concavidade e pontos de inflexão.
A segunda derivada é
A segunda derivada é
que muda de sinal em
. Logo há pontos de inflexão em
Em
,
(concavidade para baixo) e em
,
(concavidade para cima).
Passo 6
Esboço final.
Juntando tudo:
Juntando tudo:
- Como
quando . - Raízes em
(toque) e (cruzamento). - Máximo local em
. - Mínimos locais em
. - Inflexão em
.
O gráfico é uma curva em “W” simétrica, subindo até, caindo a um mínimo em , subindo a um máximo em , descendo a um mínimo em e subindo de novo.
Resposta
Esboço do gráfico de
:
- Domínio:
. - Simetria par.
- Raízes:
(dupla) e . - Extremos: mínimo local em
, máximo local em . - Pontos de inflexão em
. - Comportamento:
quando .