Esboce o gráfico das funções:
g(x)=x^4-6 x^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
g(x)=x^4-6x^2
Isso envolve estudar domínio, simetria, interceptos, extremos, concavidade e pontos de inflexão de uma função polinomial de quarto grau.

Passo 2

Domínio e simetria.
O domínio de g é todo o conjunto dos reais, pois polinômios são definidos em R. Como
g(-x)=(-x)^4-6(-x)^2=x^4-6x^2=g(x),
a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Interceptos e raízes.
O intercepto em y ocorre em x=0, dando
g(0)=0
Para encontrar raízes, resolvemos
x^4-6x^2=0 Longrightarrow x^2(x^2-6)=0,
logo x=0 (raiz dupla) e x=pmraiz6 (raízes simples).

Passo 4

Pontos críticos e classificação.
Calculamos a derivada
g'(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3),
que se anula em
,x=-raiz3,;x=0,;x=raiz3
Para classificar, observamos o sinal de g':
  • Em (-infty,-raiz3), g'<0 (decrescente).
  • Em (-raiz3,0), g'>0 (crescente).
  • Em (0,raiz3), g'<0 (decrescente).
  • Em (raiz3,infty), g'>0 (crescente).
    Portanto
g(-raiz3)=(raiz3)^4-6(raiz3)^2=9-18=-9
é mínimo local e
g(0)=0
é máximo local, e simetricamente g(raiz3)=-9 é outro mínimo local.

Passo 5

Concavidade e pontos de inflexão.
A segunda derivada é
g''(x)=12x^2-12=12(x^2-1),
que muda de sinal em x=pm1. Logo há pontos de inflexão em
(x,g(x))=(pm1,;1-6=-5)
Em |x|<1, g''(x)<0 (concavidade para baixo) e em |x|>1, g''(x)>0 (concavidade para cima).

Passo 6

Esboço final.
Juntando tudo:
  • Como gto+infty quando xtopminfty.
  • Raízes em x=0 (toque) e x=pmraiz6 (cruzamento).
  • Máximo local em (0,0).
  • Mínimos locais em l(pmraiz3,-9r).
  • Inflexão em l(pm1,-5r).
    O gráfico é uma curva em “W” simétrica, subindo até (- infty,+infty), caindo a um mínimo em -raiz3, subindo a um máximo em 0, descendo a um mínimo em +raiz3 e subindo de novo.

Resposta

Esboço do gráfico de g(x)=x^4-6x^2:
  • Domínio: R.
  • Simetria par.
  • Raízes: x=0 (dupla) e x=pmraiz6.
  • Extremos: mínimo local em l(pmraiz3,-9r), máximo local em ,(0,0).
  • Pontos de inflexão em l(pm1,-5r).
  • Comportamento: g(x)to+infty quando xtopminfty.

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