Esboce o gráfico das funções:
h(x)=x^3(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
h(x)=x^3(x-1)^2
O conteúdo é análise de polinômio (zeros, multiplicidades, sinal, comportamento em pminfty, derivada para extremos) para fazer o esboço.

Passo 2

Identificamos os zeros de h e suas multiplicidades:
x=0 com multiplicidade 3 (raiz ímpar) Rightarrow a curva cruza o eixo em (0,0) com ponto de inflexão local.
x=1 com multiplicidade 2 (raiz par) Rightarrow a curva toca e “bate” no eixo em (1,0) sem trocar de sinal.

Passo 3

Analisamos o sinal de h(x)=x^3(x-1)^2:
(x-1)^2>=0 sempre, zera só em x=1.
x^3 é negativo para x<0 e positivo para x>0.
Logo
h(x) <0,&x<0, =0,&x=0 ou x=1, >0,&x>0,(xneq1)

Passo 4

Verificamos o comportamento em pminfty. O termo dominante é x^5, pois
h(x)=x^3(x-1)^2=x^5-2x^4+x^3
Como o coeficiente de x^5 é positivo,
limxto-inftyh(x)=-infty, limxto+inftyh(x)=+infty

Passo 5

Calculamos a derivada para achar extremos:
h'(x)=ddxl[x^3(x-1)^2r] =3x^2(x-1)^2+x^3cdot 2(x-1) =x^2(x-1)l[3(x-1)+2xr] =x^2(x-1)(5x-3)
Raízes de h': x=0 (mult., 2), x=1, x=tfrac35.
Analisando o sinal de h' em cada intervalo, concluímos:
– Crescente em (- infty,,0) e (0,,tfrac35).
– Decrescente em (tfrac35,,1).
– Crescente em (1,,infty).
Logo há um máximo local em
l(tfrac35,,h(tfrac35)r) com
h!l(tfrac35r) =l(tfrac35r)^3 l(-tfrac25r)^2 =27125cdot425 =1083125approx0,0346,
e um mínimo local em (1,0), porém este mínimo está sobre o eixo.

Passo 6

Esboço textual do gráfico:
  • Para xto-infty, h(x)to-infty.
  • Cresce, cruza em (0,0) com inflexão (mult., 3).
  • Continua subindo até o máximo em l(tfrac35,tfrac1083125r).
  • Desce e toca o eixo em (1,0) (mult., 2), sem mudar de sinal.
  • Depois cresce para +infty quando xto+infty.

Resposta

O gráfico de h(x)=x^3(x-1)^2 é uma curva que parte de -infty à esquerda, cruza o eixo em (0,0) com ponto de inflexão, atinge um máximo em l(tfrac35,0,0346r), desce até tocar o eixo em (1,0) e então cresce indefinidamente para +infty.

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