O conteúdo é análise de polinômio (zeros, multiplicidades, sinal, comportamento em , derivada para extremos) para fazer o esboço.
Passo 2
Identificamos os zeros de e suas multiplicidades:
– com multiplicidade (raiz ímpar) a curva cruza o eixo em com ponto de inflexão local.
– com multiplicidade (raiz par) a curva toca e “bate” no eixo em sem trocar de sinal.
Passo 3
Analisamos o sinal de :
– sempre, zera só em .
– é negativo para e positivo para .
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Passo 4
Verificamos o comportamento em pminfty. O termo dominante é x^5, pois
Raízes de h': x=0 (mult.,2), x=1, x=tfrac35.
Analisando o sinal de h' em cada intervalo, concluímos:
– Crescente em (- infty,,0) e (0,,tfrac35).
– Decrescente em (tfrac35,,1).
– Crescente em (1,,infty).
Logo há um máximo local em l(tfrac35,,h(tfrac35)r) com
e um mínimo local em (1,0), porém este mínimo está sobre o eixo.
Passo 6
Esboço textual do gráfico:
Para xto-infty, h(x)to-infty.
Cresce, cruza em (0,0) com inflexão (mult.,3).
Continua subindo até o máximo em l(tfrac35,tfrac1083125r).
Desce e toca o eixo em (1,0) (mult.,2), sem mudar de sinal.
Depois cresce para +infty quando xto+infty.
Resposta
O gráfico de h(x)=x^3(x-1)^2 é uma curva que parte de -infty à esquerda, cruza o eixo em (0,0) com ponto de inflexão, atinge um máximo em l(tfrac35,0,0346r), desce até tocar o eixo em (1,0) e então cresce indefinidamente para +infty.