Exercício 18. (Apostol seção 12.15 exercício 4) Se
, ache todos os
tais que
.
Passo 1
O enunciado define
em
e pede para achar todos os
tais que
Aqui
. O conteúdo que vamos usar é a propriedade do divergente de um produto escalar vezes um campo vetorial:
Passo 2
Defina
e
. Então
Vamos calcular separadamente
e
.
Passo 3
Como
, cada componente é
. Logo
Passo 4
Agora
. Para o gradiente:
e de modo análogo para
. Assim
Passo 5
Substituindo em
:
Logo
Passo 6
Queremos
para todo
. Como
quando
, a única forma é