Exercício 18. (Apostol seção 12.15 exercício 4) Se r=(x, y, z), ache todos os n tais que div(|r|^n r)=0.

Passo 1

O enunciado define r=(x,y,z) em R^3 e pede para achar todos os n tais que
divl(|r|^n,rr)=0
Aqui |r|=raizx^2+y^2+z^2. O conteúdo que vamos usar é a propriedade do divergente de um produto escalar vezes um campo vetorial:
div(phi,v)=nablaphicdot v+phi,divv

Passo 2

Defina phi(r)=|r|^n e v(r)=r=(x,y,z). Então
div(phi,v) =nablaphicdot v+phi,divv
Vamos calcular separadamente divv e nablaphi.

Passo 3

Como v(r)=(x,y,z), cada componente é vi=xi. Logo
divv =partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z =1+1+1=3

Passo 4

Agora phi(r)=|r|^n=(x^2+y^2+z^2)^n/2. Para o gradiente:
partialphipartial x =n,(x^2+y^2+z^2)^ n2-1,x =n,|r|^n-2,x,
e de modo análogo para y,z. Assim
nablaphi =n,|r|^n-2,(x,y,z) =n,|r|^n-2,r

Passo 5

Substituindo em nablaphicdot v+phi,divv:
nablaphicdot v =n,|r|^n-2,rcdot r =n,|r|^n-2,|r|^2 =n,|r|^n,
phi,divv =|r|^ncdot 3 =3,|r|^n
Logo
divl(|r|^n,rr) =(n+3),|r|^n

Passo 6

Queremos (n+3),|r|^n=0 para todo rneq0. Como |r|^n>0 quando rneq0, a única forma é
n+3=0 Longrightarrow n=-3

Resposta

n=-3

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