(2,5) Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio dessa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão dentro da raiz quadrada deve ser um número real não negativo. Logo precisamos ter
- As expressões com valor absoluto mudam de forma nos pontos onde o argumento é zero; aqui os pontos críticos são
e . Esses pontos vão dividir a reta em intervalos onde podemos remover os módulos de forma simples.
Passo 2
Breve lembrete sobre valor absoluto (para não pular etapas): para qualquer número real
Isso significa que, para resolver uma desigualdade com módulos, é prático dividir a reta em intervalos onde os sinais dos argumentos dos módulos são conhecidos e substituir por suas expressões sem o módulo.
No nosso caso os argumentos são
. Os pontos onde mudam de sinal são
(para
) e
(para
). Portanto consideramos os três intervalos:
,
e
.]
Passo 3
Analisar o intervalo
.
Aqui
e
, então
A condição
vira
o que é sempre falso. Portanto não existe
que satisfaça a desigualdade. Conclusão: nenhum ponto de
pertence ao domínio.
Passo 4
Analisar o intervalo
.
Aqui
e
, então
A condição torna-se
Tomando em conta o intervalo inicial
, a interseção é
Portanto todos os
em
satisfazem a condição.
Passo 5
Analisar o intervalo
.
Aqui
e
, então
A condição fica
o que é sempre verdadeiro. Portanto toda a semi-reta
satisfaz a desigualdade, e todos esses
pertencem ao domínio. Note que o ponto
já foi incluído no passo anterior (
).
Passo 6
Juntando os resultados dos três intervalos:
- de
temos todo esse conjunto, - de
apenas , - de
nada.
A união é
Podemos conferir com alguns exemplos rápidos:
-
: ok. -
: ok (raiz zero). -
: não está no domínio.