(2,5) Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
f(x)=\sqrt{|x-4|-|x|}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{|x-4|-|x|}
e pede o domínio dessa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão dentro da raiz quadrada deve ser um número real não negativo. Logo precisamos ter
|x-4|-|x|\ge 0.
  • As expressões com valor absoluto mudam de forma nos pontos onde o argumento é zero; aqui os pontos críticos são x=0 e x=4. Esses pontos vão dividir a reta em intervalos onde podemos remover os módulos de forma simples.

Passo 2

Breve lembrete sobre valor absoluto (para não pular etapas): para qualquer número real t\), \[|t|=\begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Isso significa que, para resolver uma desigualdade com módulos, é prático dividir a reta em intervalos onde os sinais dos argumentos dos módulos são conhecidos e substituir por suas expressões sem o módulo.
No nosso caso os argumentos são x-4\] e \(x. Os pontos onde mudam de sinal são x=4 (para x-4) e x=0 (para x). Portanto consideramos os três intervalos: x\ge4, 0\le x<4 e x<0.]

Passo 3

Analisar o intervalo \,x\ge 4.
Aqui x-4\ge0 e x\ge0, então
|x-4|=x-4,\qquad |x|=x.
A condição |x-4|-|x|\ge0 vira
x-4-x\ge0 \quad\Longrightarrow\quad -4\ge0,
o que é sempre falso. Portanto não existe x\ge4 que satisfaça a desigualdade. Conclusão: nenhum ponto de [4,\infty) pertence ao domínio.

Passo 4

Analisar o intervalo \,0\le x<4.
Aqui x-4<0 e x\ge0, então
|x-4|=4-x,\qquad |x|=x.
A condição torna-se
4-x-x\ge0 \quad\Longrightarrow\quad 4-2x\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\le 2.
Tomando em conta o intervalo inicial 0\le x<4, a interseção é
0\le x\le 2.
Portanto todos os x em [0,2] satisfazem a condição.

Passo 5

Analisar o intervalo \,x<0.
Aqui x-4<0 e x<0, então
|x-4|=4-x,\qquad |x|=-x.
A condição fica
4-x-(-x)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad 4\ge0,
o que é sempre verdadeiro. Portanto toda a semi-reta (-\infty,0) satisfaz a desigualdade, e todos esses x pertencem ao domínio. Note que o ponto x=0 já foi incluído no passo anterior ( 0\in[0,2]).

Passo 6

Juntando os resultados dos três intervalos:
  • de (-\infty,0) temos todo esse conjunto,
  • de [0,4) apenas [0,2],
  • de [4,\infty) nada.
A união é
(-\infty,0)\\ \cup\\ [0,2] = (-\infty,2].
Podemos conferir com alguns exemplos rápidos:
  • x=-5: |-5-4|-|-5|=9-5=4\ge0 ok.
  • x=2: |2-4|-|2|=2-2=0 ok (raiz zero).
  • x=3: |3-4|-|3|=1-3=-2<0 não está no domínio.

Resposta

(-\infty,2]

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