Esboce o gráfico das funções. Indique o domínio, o conjunto imagem, o eixo de simetria, a interseç̧ão com os eixos e o ponto de máximo ou de mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos desenhar o gráfico da função quadrática $ f(x) = -3x^{2} + 2x -1 $. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos como domínio, imagem (ou conjunto imagem), eixo de simetria, interseções com os eixos e pontos de máximo ou mínimo.
Passo 2
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores que $ x $ pode assumir. Aqui, como a função é um polinômio do segundo grau, ela está definida para todo número real. Então, o domínio é:
Passo 3
Imagem (Conjunto Imagem): A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de $ f(x) $. Como o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo (
), o gráfico da parábola abre para baixo, o que significa que ela terá um ponto de máximo. Para encontrar esse valor máximo, precisamos calcular o vértice da parábola.
Passo 4
Eixo de Simetria: O eixo de simetria é uma linha vertical que passa pelo vértice da parábola. A fórmula para encontrar o eixo de simetria de uma função quadrática $ ax^{2} + bx + c $ é:
Aqui, $ a = -3 $ e $ b = 2 $, então:
Então, o eixo de simetria é:
Passo 5
Interseção com o Eixo Y: Para encontrar onde a função corta o eixo Y, basta avaliar $ f(0) $:
Então, a interseção com o eixo Y é no ponto $ (0, -1) $.
Passo 6
Interseção com o Eixo X: Para encontrar onde a função corta o eixo X, resolvemos $ f(x) = 0 $:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = -3 $, $ b = 2 $, e $ c = -1 $:
Como a raiz é negativa, não existem interseções reais com o eixo X.
Passo 7
Ponto de Máximo ou Mínimo: Já que a parábola abre para baixo (coeficiente de $ x^{2} $ é negativo), ela tem um ponto de máximo. Vamos encontrar as coordenadas do vértice usando o eixo de simetria $ x = \frac{1}{3} $:
Então, o ponto de máximo é $ \left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right) $.
Resposta
O gráfico da função $ f(x) = -3x^{2} + 2x -1 $ tem:
- Domínio: Todos os números reais ($ \mathbb{R} $)
- Imagem: Valores reais menores ou iguais a
- Eixo de Simetria: $ x = \frac{1}{3} $
- Interseção com o Eixo Y: $ (0, -1) $
- Interseção com o Eixo X: Não possui interseções reais
- Ponto de Máximo: $ \left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right) $