Nos seguintes exercícios, (i) encontre o domínio, (ii) encontre a imagem, e (iii) descreva as curvas de nível da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede três coisas:
- (i) encontrar o domínio de
; - (ii) encontrar a imagem (conjunto de valores que
assume); - (iii) descrever as curvas de nível de
(isto é, os conjuntos para constantes ).
As informações relevantes dadas são apenas a expressão da função acima.
Passo 2
Primeiro vamos pensar nas condições necessárias para que
esteja bem definida como número real. Há duas restrições que vêm da forma da função:
- O radicando da raiz quadrada deve ser não negativo, isto é precisamos de
caso contrário a raiz quadrada seria um número complexo.
- Além disso, a raiz aparece no denominador; o denominador não pode ser zero. Portanto precisamos de
Juntando as duas condições, a condição efetiva é
Passo 3
Reescrevendo a desigualdade obtida em termos mais geométricos:
Isto significa que o domínio é o disco aberto de raio
centrado na origem. Em notação de conjuntos:
Observação didática: o ponto na borda
é excluído porque ali
tornaria o denominador nulo; pontos com
estão fora porque a raiz ficaria com argumento negativo.
Passo 4
Para achar a imagem (contraste: a ideia é ver quais valores reais
pode assumir) é útil usar coordenadas polares. Defina
. Então, para
no domínio sabemos
e
Agora raciocinamos sobre
definida para
.
- Quando
(origem), temos
- Quando
aumenta em , o termo diminui e sua raiz positiva diminui; como estamos tomando dessa raiz, o valor de aumenta. Ou seja, é crescente em no intervalo . - Quando
, temos e portanto .
Portanto os valores assumidos por
vão de
até
, incluindo
mas sem ter um teto. Assim a imagem é
Passo 5
Agora vamos descrever as curvas de nível. Pegue uma constante
e considere a equação
Substituindo a expressão de
e usando
obtemos
Resolvendo em
:
Para que exista solução real devemos ter
, ou seja
Mas pela análise da imagem (Passo 4) sabemos que
só assume valores não negativos e, de fato,
deve ser
. Assim consideramos três casos:
- Se
, não há solução: a curva de nível é o conjunto vazio. - Se
, então
isto é
. A curva de nível é o ponto isolado
.
- Se
, então
e a curva de nível é o círculo centrado na origem de raio
Em coordenadas polares a curva de nível para tal
é dada por
Passo 6
Interpretação geométrica e exemplos rápidos (truques que servem na prova):
- As curvas de nível são círculos concêntricos (mesmo centro: origem). Conforme
aumenta a razão aumenta também, aproximando-se de quando . Assim obter círculos cada vez maiores, limitando-se ao disco aberto de raio . - Exemplos numéricos:
- Para
a curva é o ponto . - Para
a curva tem raio . - Para
a curva tem raio .
- Para
Dica prática para prova: sempre comece identificando as restrições da raiz e do denominador para achar o domínio; se a função depende só de
use
— isso simplifica imagem e curvas de nível.
Resposta
Domínio:
.
Imagem:
.
Curvas de nível: para
são vazias; para
é o ponto
; para
são círculos centrados na origem de raio
.