Nos seguintes exercícios, (i) encontre o domínio, (ii) encontre a imagem, e (iii) descreva as curvas de nível da função:
f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}
e pede três coisas:
  1. (i) encontrar o domínio de f;
  2. (ii) encontrar a imagem (conjunto de valores que f assume);
  3. (iii) descrever as curvas de nível de f (isto é, os conjuntos \{(x,y):f(x,y)=c\} para constantes c).
As informações relevantes dadas são apenas a expressão da função acima.

Passo 2

Primeiro vamos pensar nas condições necessárias para que f(x,y) esteja bem definida como número real. Há duas restrições que vêm da forma da função:
  • O radicando da raiz quadrada deve ser não negativo, isto é precisamos de
16-x^{2}-y^{2}\ge 0,
caso contrário a raiz quadrada seria um número complexo.
  • Além disso, a raiz aparece no denominador; o denominador não pode ser zero. Portanto precisamos de
16-x^{2}-y^{2}>0.
Juntando as duas condições, a condição efetiva é
16-x^{2}-y^{2}>0.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade obtida em termos mais geométricos:
16-x^{2}-y^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}<16.
Isto significa que o domínio é o disco aberto de raio 4 centrado na origem. Em notação de conjuntos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\;x^{2}+y^{2}<16\}.
Observação didática: o ponto na borda x^{2}+y^{2}=16 é excluído porque ali 16-x^{2}-y^{2}=0 tornaria o denominador nulo; pontos com x^{2}+y^{2}>16 estão fora porque a raiz ficaria com argumento negativo.

Passo 4

Para achar a imagem (contraste: a ideia é ver quais valores reais f pode assumir) é útil usar coordenadas polares. Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então, para (x,y) no domínio sabemos 0\le r<4 e
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{16-r^{2}}}.
Agora raciocinamos sobre g(r)=\dfrac{1}{\sqrt{16-r^{2}}} definida para 0\le r<4.
  • Quando r=0 (origem), temos
f(0,0)=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}.
  • Quando r aumenta em [0,4), o termo 16-r^{2} diminui e sua raiz positiva diminui; como estamos tomando 1/ dessa raiz, o valor de f aumenta. Ou seja, g(r) é crescente em r no intervalo [0,4).
  • Quando r\to 4^{-}, temos 16-r^{2}\to 0^{+} e portanto g(r)\to +\infty.
Portanto os valores assumidos por f vão de f(0,0)=1/4 até +\infty, incluindo 1/4 mas sem ter um teto. Assim a imagem é
\operatorname{Im}(f) = \left[\frac{1}{4},\infty\right).

Passo 5

Agora vamos descrever as curvas de nível. Pegue uma constante c\in\mathbb{R} e considere a equação
f(x,y)=c.
Substituindo a expressão de f e usando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} obtemos
\frac{1}{\sqrt{16-r^{2}}}=c.
Resolvendo em r:
\sqrt{16-r^{2}}=\frac{1}{c}\quad\Longrightarrow\quad 16-r^{2}=\frac{1}{c^{2}}\quad\Longrightarrow\quad r^{2}=16-\frac{1}{c^{2}}.
Para que exista solução real devemos ter r^{2}\ge 0, ou seja
16-\frac{1}{c^{2}}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad c^{2}\ge \frac{1}{16}\quad\Longleftrightarrow\quad |c|\ge \frac{1}{4}.
Mas pela análise da imagem (Passo 4) sabemos que f só assume valores não negativos e, de fato, c deve ser c\ge \tfrac{1}{4}. Assim consideramos três casos:
  • Se c<\tfrac{1}{4}, não há solução: a curva de nível é o conjunto vazio.
  • Se c=\tfrac{1}{4}, então
r^{2}=16-\frac{1}{(1/4)^{2}}=16-16=0,
isto é r=0. A curva de nível é o ponto isolado (0,0).
  • Se c>\tfrac{1}{4}, então
r=\sqrt{16-\frac{1}{c^{2}}}>0,
e a curva de nível é o círculo centrado na origem de raio
\rho\text{(c)}=\sqrt{16-\frac{1}{c^{2}}}.
Em coordenadas polares a curva de nível para tal c é dada por
\{(r\cos\theta,r\sin\theta):\; r=\rho\text{(c)},\; \theta\in[0,2\pi)\}.

Passo 6

Interpretação geométrica e exemplos rápidos (truques que servem na prova):
  • As curvas de nível são círculos concêntricos (mesmo centro: origem). Conforme c aumenta a razão \rho\text{(c)} aumenta também, aproximando-se de 4 quando c\to\infty. Assim obter círculos cada vez maiores, limitando-se ao disco aberto de raio 4.
  • Exemplos numéricos:
    • Para c=\tfrac{1}{4} a curva é o ponto (0,0).
    • Para c=\tfrac{1}{2} a curva tem raio \rho(\tfrac{1}{2})=\sqrt{16-\tfrac{1}{(1/2)^{2}}}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
    • Para c=1 a curva tem raio \rho(1)=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}.
Dica prática para prova: sempre comece identificando as restrições da raiz e do denominador para achar o domínio; se a função depende só de x^{2}+y^{2} use r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — isso simplifica imagem e curvas de nível.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\;x^{2}+y^{2}<16\}.
Imagem: \left[\dfrac{1}{4},\infty\right).
Curvas de nível: para c<\dfrac{1}{4} são vazias; para c=\dfrac{1}{4} é o ponto (0,0); para c>\dfrac{1}{4} são círculos centrados na origem de raio \sqrt{16-\dfrac{1}{c^{2}}}.

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