Questão 1. Nos PVIs abaixo dtermine o maior intervalo no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de 2a ordem é válido. Não é necessário resolver as equações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede para encontrar o maior intervalo onde o teorema de existência e unicidade vale. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de 2ª ordem e verificar onde os coeficientes são contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão. A equação dada é:
Vamos dividir todos os termos por
para isolar
:
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes da equação. Na forma padrão de uma EDO linear de 2ª ordem:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
O teorema de existência e unicidade para equações diferenciais lineares de 2ª ordem exige que os coeficientes
,
e
sejam contínuos no intervalo considerado. Vamos verificar onde esses coeficientes são contínuos.
Passo 5
Olhemos para
. Essa função não é definida quando
porque teríamos divisão por zero. Portanto,
é contínua para todo
diferente de zero.
Passo 6
Como a condição inicial dada é em
, precisamos escolher um intervalo que inclua
e onde
. O maior intervalo possível que atende a isso é
.
Resposta
O maior intervalo no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade são válidas é
.