Questão 1. Nos PVIs abaixo dtermine o maior intervalo no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de 2a ordem é válido. Não é necessário resolver as equações.
lt y prime prime+3 y=t y(1)=1 ; y^prime(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede para encontrar o maior intervalo onde o teorema de existência e unicidade vale. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de 2ª ordem e verificar onde os coeficientes são contínuos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão. A equação dada é:
t y'' + 3 y = t
Vamos dividir todos os termos por y'' + 3t y = 1 para isolar :

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes da equação. Na forma padrão de uma EDO linear de 2ª ordem:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = G(t)
Aqui, , e .

Passo 4

O teorema de existência e unicidade para equações diferenciais lineares de 2ª ordem exige que os coeficientes , e sejam contínuos no intervalo considerado. Vamos verificar onde esses coeficientes são contínuos.

Passo 5

Olhemos para . Essa função não é definida quando porque teríamos divisão por zero. Portanto, é contínua para todo diferente de zero.

Passo 6

Como a condição inicial dada é em , precisamos escolher um intervalo que inclua e onde . O maior intervalo possível que atende a isso é .

Resposta

O maior intervalo no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade são válidas é .

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