Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da hipérbole dada pela equação
e traçar as assíntotas. Informações fornecidas diretamente:
- A equação explícita é
. - Não há figura adicional fornecida.
As perguntas implícitas que vamos responder: qual é o centro, a orientação (ramos vertical ou horizontal), os vértices, as assíntotas (equações das retas), e (opcionalmente) as coordenadas dos focos para ajudar no esboço.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a equação em forma padrão de hipérbole. Começo dividindo ambos os lados por
para normalizar:
Agora simplifico os coeficientes:
e
. Assim a equação vira
Passo 3
Reescrevo para a forma padrão conhecida da hipérbole. A forma canônica para hipérbole com termo positivo em
é
que representa uma hipérbole com eixos centrados em
e ramos abertos para cima e para baixo (orientação vertical). Comparando com a equação obtida:
Portanto:
- Centro:
. -
então . -
então . - Como o termo positivo é o do
, a hipérbole abre para cima e para baixo (ramos verticais).
Passo 4
Calculo os vértices: para a forma
os vértices ficam em
. Assim:
Estes são os pontos mais próximos ao centro, onde cada ramo “começa” verticalmente.
Passo 5
Encontrando as assíntotas. A ideia: para
ou
grandes, os termos constantes tornam-se desprezíveis e a hipérbole se aproxima da curva definida por
que fatoriza em retas. Isso leva às equações das assíntotas
Substituindo
,
,
,
, obtemos
Escrevendo em forma explícita (
…):
Para o sinal :
Para o sinal
Para o sinal
:
Portanto as assíntotas são as retas
e
.
Passo 6
Construção auxiliar (retângulo fundamental). Uma forma prática de desenhar a hipérbole é desenhar o retângulo centrado em
com meio-eixos
na horizontal e
na vertical; as diagonais desse retângulo são exatamente as assíntotas. Os vértices do retângulo são
. Aqui:
Isso dá os quatro cantos:
Desenhe esse retângulo; então trace suas diagonais — serão as retas
e
. Em seguida, desenhe dois ramos que passam pelos vértices
e
e se aproximam das diagonais quando se afastam do centro (um ramo indo para cima, outro para baixo).
Passo 7
Cálculo dos focos (opcional, útil para esboço mais preciso). Para hipérbole vale
. Aqui:
Como a hipérbole é vertical, os focos estão em
, ou seja
Numericamente
, então os focos ficam aproximadamente em
e
.
Passo 8
Instruções finais para o esboço passo a passo (como desenhar na prova sem régua complicada):
- Marque o centro em
. - Marque os vértices em
e . - Desenhe o retângulo com cantos
. - Trace as diagonais desse retângulo: serão as assíntotas
e . - Desenhe os dois ramos da hipérbole passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas à medida que se afastam do centro (ramo superior para cima, ramo inferior para baixo).
- Se quiser, marque os focos em
para referência.
Resposta
Centro:
Vértices: e
Assíntotas: e
Focos: e
Vértices:
Assíntotas:
Focos: