Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
-9(x+2)^{2}+4(y-3)^{2}=36

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da hipérbole dada pela equação -9(x+2)^{2}+4(y-3)^{2}=36 e traçar as assíntotas. Informações fornecidas diretamente:
  • A equação explícita é -9(x+2)^{2}+4(y-3)^{2}=36.
  • Não há figura adicional fornecida.
    As perguntas implícitas que vamos responder: qual é o centro, a orientação (ramos vertical ou horizontal), os vértices, as assíntotas (equações das retas), e (opcionalmente) as coordenadas dos focos para ajudar no esboço.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a equação em forma padrão de hipérbole. Começo dividindo ambos os lados por 36 para normalizar:
-9\frac{(x+2)^{2}}{36}+4\frac{(y-3)^{2}}{36}=1.
Agora simplifico os coeficientes: \dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4} e \dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}. Assim a equação vira
-\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{9}=1.

Passo 3

Reescrevo para a forma padrão conhecida da hipérbole. A forma canônica para hipérbole com termo positivo em y é
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1,
que representa uma hipérbole com eixos centrados em (h,k) e ramos abertos para cima e para baixo (orientação vertical). Comparando com a equação obtida:
\frac{(y-3)^{2}}{9}-\frac{(x+2)^{2}}{4}=1.
Portanto:
  • Centro: (h,k)=(-2,3).
  • a^{2}=9 então a=3.
  • b^{2}=4 então b=2.
  • Como o termo positivo é o do (y-3)^{2}, a hipérbole abre para cima e para baixo (ramos verticais).

Passo 4

Calculo os vértices: para a forma \dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1 os vértices ficam em (h,k\pm a). Assim:
\text{Vértices: }(-2,\,3+3)=(-2,6)\quad\text{e}\quad(-2,\,3-3)=(-2,0).é
Estes são os pontos mais próximos ao centro, onde cada ramo “começa” verticalmente.

Passo 5

Encontrando as assíntotas. A ideia: para |x| ou |y| grandes, os termos constantes tornam-se desprezíveis e a hipérbole se aproxima da curva definida por
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=0,
que fatoriza em retas. Isso leva às equações das assíntotas
y-k=\pm\frac{a}{b}(x-h).
Substituindo h=-2, k=3, a=3, b=2, obtemos
y-3=\pm\frac{3}{2}(x+2).
Escrevendo em forma explícita ( y= …):
Para o sinal +:
y-3=\frac{3}{2}(x+2)\quad\Rightarrow\quad y=\frac{3}{2}x+6.
Para o sinal -:
y-3=-\frac{3}{2}(x+2)\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{3}{2}x.
Portanto as assíntotas são as retas \;y=\dfrac{3}{2}x+6\; e \;y=-\dfrac{3}{2}x\;.

Passo 6

Construção auxiliar (retângulo fundamental). Uma forma prática de desenhar a hipérbole é desenhar o retângulo centrado em (h,k) com meio-eixos b na horizontal e a na vertical; as diagonais desse retângulo são exatamente as assíntotas. Os vértices do retângulo são (h\pm b,\;k\pm a). Aqui:
(h\pm b,\;k\pm a)=(-2\pm2,\;3\pm3).
Isso dá os quatro cantos:
(0,6),\;(-4,6),\;(0,0),\;(-4,0).
Desenhe esse retângulo; então trace suas diagonais — serão as retas \;y=\dfrac{3}{2}x+6\; e \;y=-\dfrac{3}{2}x\;. Em seguida, desenhe dois ramos que passam pelos vértices (-2,6) e (-2,0) e se aproximam das diagonais quando se afastam do centro (um ramo indo para cima, outro para baixo).

Passo 7

Cálculo dos focos (opcional, útil para esboço mais preciso). Para hipérbole vale \;c^{2}=a^{2}+b^{2}\;. Aqui:
c^{2}=9+4=13\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{13}.
Como a hipérbole é vertical, os focos estão em (h,\;k\pm c), ou seja
\text{Focos: }(-2,\;3+\sqrt{13})\quad\text{e}\quad(-2,\;3-\sqrt{13}).
Numericamente \sqrt{13}\approx 3{,}606, então os focos ficam aproximadamente em (-2,\,6{,}606) e (-2,\,-0{,}606).

Passo 8

Instruções finais para o esboço passo a passo (como desenhar na prova sem régua complicada):
  1. Marque o centro em (-2,3).
  2. Marque os vértices em (-2,6) e (-2,0).
  3. Desenhe o retângulo com cantos (0,6),(-4,6),(0,0),(-4,0).
  4. Trace as diagonais desse retângulo: serão as assíntotas \;y=\dfrac{3}{2}x+6\; e \;y=-\dfrac{3}{2}x\;.
  5. Desenhe os dois ramos da hipérbole passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas à medida que se afastam do centro (ramo superior para cima, ramo inferior para baixo).
  6. Se quiser, marque os focos em (-2,\,3\pm\sqrt{13}) para referência.

Resposta

Centro: (-2,3)
Vértices: (-2,6) e (-2,0)
Assíntotas: y=\dfrac{3}{2}x+6 e y=-\dfrac{3}{2}x
Focos: (-2,\,3+\sqrt{13}) e (-2,\,3-\sqrt{13})

Exercícios relacionados