Determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e desenhe o gráfico das hipérboles com as suas assíntotas:
-4 x^{2}+y^{2}+8 x+4 y+4=0

Passo 1

O enunciado dá a curva dada pela equação
-4x^{2}+y^{2}+8x+4y+4=0
e pede:
  • o centro da hipérbole;
  • os vértices;
  • os focos;
  • os eixos de simetria;
  • desenhar (descrever como desenhar) o gráfico da hipérbole e suas assíntotas.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes da equação quadrática em x e y e os termos lineares e constante, tudo já escrito acima.

Passo 2

Primeiro objetivo: colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole, completando o quadrado nas variáveis x e y.
Começo agrupando termos em x e em y:
-4x^{2}+8x + y^{2}+4y +4 = 0.
Faço a completção do quadrado em x. Coloco em evidência -4:
-4\bigl(x^{2}-2x\bigr) + y^{2}+4y +4 = 0.
Agora completo o quadrado em x: \;x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1. Substituindo:
-4\bigl((x-1)^{2}-1\bigr) + y^{2}+4y +4 = 0.
Distribuindo o -4:
-4(x-1)^{2} +4 + y^{2}+4y +4 = 0.
Agora completo o quadrado em y: y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4. Substituo:
-4(x-1)^{2} +4 + \bigl((y+2)^{2}-4\bigr) +4 = 0.
Simplificando os termos constantes 4-4+4=4:
-4(x-1)^{2} + (y+2)^{2} +4 = 0.
Isolo os quadrados:
(y+2)^{2} -4(x-1)^{2} = -4.
Multiplico por -1:
4(x-1)^{2} - (y+2)^{2} = 4.
Divido ambos os lados por 4 para obter a forma padrão:
\frac{(x-1)^{2}}{1} - \frac{(y+2)^{2}}{4} = 1.
Portanto a hipérbole está na forma padrão
\frac{(x-1)^{2}}{1} - \frac{(y+2)^{2}}{4} = 1,
ou, de forma mais compacta,
\frac{(x-1)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y+2)^{2}}{b^{2}} = 1
com \;a^{2}=1,\;b^{2}=4.

Passo 3

Interpretação dos parâmetros e centro.
  • O centro (h,k) da hipérbole na forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 é (h,k). Aqui h=1 e k=-2. Logo o centro é
(1,-2).
  • Dos coeficientes padrão obtemos \;a^{2}=1\Rightarrow a=1 (escolhemos a>0) e \;b^{2}=4\Rightarrow b=2.
Explicando (rapidamente) o que significam a e b: a é a semi-distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso (aqui eixo na direção x), e b está relacionada à “abertura” e às assíntotas; ambos entram também na fórmula dos focos.

Passo 4

Vértices: para a hipérbole horizontal \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1, os vértices ficam em (h\pm a,\,k).
Com h=1,\;k=-2,\;a=1:
\text{vértices: }(1+1,-2)=(2,-2)\quad\text{e}\quad(1-1,-2)=(0,-2).é

Passo 5

Focos: para essa hipérbole horizontal, a relação entre a, b e a distância focal c é
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Substituo a^{2}=1 e b^{2}=4:
c^{2}=1+4=5 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{5}.
Os focos estão em (h\pm c,\,k). Assim:
\text{focos: } \bigl(1+\sqrt{5},\,-2\bigr)\quad\text{e}\quad \bigl(1-\sqrt{5},\,-2\bigr).

Passo 6

Equações das assíntotas: para a hipérbole horizontal na forma padrão, as assíntotas são retas passando pelo centro e com inclinações \pm\frac{b}{a}. A fórmula é
y-k = \pm\frac{b}{a}\,(x-h).
Aqui \dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{1}=2 e (h,k)=(1,-2). Logo as assíntotas são
y+2 = 2(x-1)\quad\text{e}\quad y+2 = -2(x-1).
Desenvolvendo:
y = 2x -4\quad\text{e}\quad y = -2x.

Passo 7

Eixos de simetria: a hipérbole é simétrica em relação às duas retas que passam pelo centro e alinham-se com os eixos da forma padrão:
  • eixo transverso (linha que contém os vértices): y=k, aqui y=-2;
  • eixo conjugado (perpendicular ao anterior e passando pelo centro): x=h, aqui x=1.
Portanto os eixos de simetria são as retas
y=-2\quad\text{e}\quad x=1.

Passo 8

Instruções detalhadas e práticas para desenhar o gráfico (passo a passo para fazer rápido na prova, sem calculadora):
  1. Marcar o centro em (1,-2).
  2. Marcar os vértices em (2,-2) e (0,-2).
  3. Calcular e marcar os focos em \bigl(1\pm\sqrt{5},-2\bigr). Como \sqrt{5}\approx2,236, os focos ficam aproximadamente em (3, -2) (um pouco menor que 3{,}24) e (-1{,}236,-2) (aprox. -1{,}236), só para referência visual.
  4. Para desenhar as assíntotas rapidamente: a partir do centro trace as retas y = 2x -4 e y=-2x. Uma técnica prática: desenhe o retângulo auxiliar cujos lados têm meio-eixos a e b: os cantos são (h\pm a, k\pm b). Aqui os cantos são (1\pm1,\,-2\pm2) \Rightarrow (2,0),\\ (2,-4),\\ (0,0),\\ (0,-4).As diagonais desse retângulo são exatamente as assíntotas.
  5. Desenhe os ramos da hipérbole abrindo-se para a direita e para a esquerda (é uma hipérbole horizontal), aproximando-se das assíntotas quando x tende a \pm\infty. Os ramos passam pelos vértices (0,-2) e (2,-2) e curvam-se para se aproximarem das assíntotas.
  6. Verifique simetria: o ramo à direita é reflexo do ramo à esquerda em relação ao centro; os eixos x=1 e y=-2 são eixos de simetria.
Com esses pontos e retas traçados, o esboço fica claro: centro em (1,-2), ramos horizontais passando por (0,-2) e (2,-2), assíntotas y=2x-4 e y=-2x.

Resposta

Centro: (1,-2)
Vértices: (2,-2) e (0,-2)
Focos: \bigl(1+\sqrt{5},-2\bigr) e \bigl(1-\sqrt{5},-2\bigr)
Eixos de simetria: y=-2 e x=1
Assíntotas: y=2x-4 e y=-2x

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