Determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e desenhe o gráfico das hipérboles com as suas assíntotas:
Passo 1
O enunciado dá a curva dada pela equação
e pede:
- o centro da hipérbole;
- os vértices;
- os focos;
- os eixos de simetria;
- desenhar (descrever como desenhar) o gráfico da hipérbole e suas assíntotas.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes da equação quadrática em
e
e os termos lineares e constante, tudo já escrito acima.
Passo 2
Primeiro objetivo: colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole, completando o quadrado nas variáveis
e
.
Começo agrupando termos em
e em
:
Faço a completção do quadrado em
. Coloco em evidência
:
Agora completo o quadrado em
:
. Substituindo:
Distribuindo o
:
Agora completo o quadrado em
:
. Substituo:
Simplificando os termos constantes
:
Isolo os quadrados:
Multiplico por
:
Divido ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Portanto a hipérbole está na forma padrão
ou, de forma mais compacta,
com
.
Passo 3
Interpretação dos parâmetros e centro.
- O centro
da hipérbole na forma é . Aqui e . Logo o centro é
- Dos coeficientes padrão obtemos
(escolhemos ) e .
Explicando (rapidamente) o que significam
e
:
é a semi-distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso (aqui eixo na direção
), e
está relacionada à “abertura” e às assíntotas; ambos entram também na fórmula dos focos.
Passo 4
Vértices: para a hipérbole horizontal
, os vértices ficam em
.
Com
:
Passo 5
Focos: para essa hipérbole horizontal, a relação entre
,
e a distância focal
é
Substituo
e
:
Os focos estão em
. Assim:
Passo 6
Equações das assíntotas: para a hipérbole horizontal na forma padrão, as assíntotas são retas passando pelo centro e com inclinações
. A fórmula é
Aqui
e
. Logo as assíntotas são
Desenvolvendo:
Passo 7
Eixos de simetria: a hipérbole é simétrica em relação às duas retas que passam pelo centro e alinham-se com os eixos da forma padrão:
- eixo transverso (linha que contém os vértices):
, aqui ; - eixo conjugado (perpendicular ao anterior e passando pelo centro):
, aqui .
Portanto os eixos de simetria são as retas
Passo 8
Instruções detalhadas e práticas para desenhar o gráfico (passo a passo para fazer rápido na prova, sem calculadora):
- Marcar o centro em
. - Marcar os vértices em
e . - Calcular e marcar os focos em
. Como , os focos ficam aproximadamente em (um pouco menor que ) e (aprox. ), só para referência visual. - Para desenhar as assíntotas rapidamente: a partir do centro trace as retas
e . Uma técnica prática: desenhe o retângulo auxiliar cujos lados têm meio-eixos e : os cantos são . Aqui os cantos são As diagonais desse retângulo são exatamente as assíntotas. - Desenhe os ramos da hipérbole abrindo-se para a direita e para a esquerda (é uma hipérbole horizontal), aproximando-se das assíntotas quando
tende a . Os ramos passam pelos vértices e e curvam-se para se aproximarem das assíntotas. - Verifique simetria: o ramo à direita é reflexo do ramo à esquerda em relação ao centro; os eixos
e são eixos de simetria.
Com esses pontos e retas traçados, o esboço fica claro: centro em
, ramos horizontais passando por
e
, assíntotas
e
.
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Eixos de simetria: e
Assíntotas: e
Vértices:
Focos:
Eixos de simetria:
Assíntotas: