Determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e desenhe o gráfico das hipérboles com as suas assíntotas:
-x^{2}+9 y^{2}+4 x-36 y+41=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
- x^{2} + 9y^{2} + 4x - 36y + 41 = 0
e pede que se determine:
  • o centro;
  • os vértices;
  • os focos;
  • os eixos de simetria;
  • o gráfico das hipérboles com as suas assíntotas (ou seja, as equações das assíntotas e indicação de como desenhar os ramos).
Lista das informações fornecidas: a equação completa da cônica acima. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever agrupando termos em x e em y:
9y^{2}-36y - x^{2}+4x +41 = 0.
Agora completamos o quadrado em y e em x. Para y:
y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.
Multiplicando por 9 obtemos
9(y^{2}-4y)=9(y-2)^{2}-36.
Para x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4,
portanto
-(x^{2}-4x)=-(x-2)^{2}+4.

Passo 3

Substituindo as identidades obtidas na equação original:
9(y-2)^{2}-36 - (x-2)^{2} +4 +41 = 0.
Somando os constantes -36+4+41=9, vem
9(y-2)^{2} - (x-2)^{2} + 9 = 0.
Passando o 9 para o outro lado:
9(y-2)^{2} - (x-2)^{2} = -9.
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar o termo em (x-2)^{2} positivo:
(x-2)^{2} - 9(y-2)^{2} = 9.
Dividindo por 9 obtemos a forma padrão:
\frac{(x-2)^{2}}{9} - \frac{(y-2)^{2}}{1} = 1.

Passo 4

Interpretação da forma padrão: uma hipérbole na forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1
tem centro (h,k), eixo transverso horizontal (os ramos abrem para a esquerda e para a direita), com parâmetros a^{2} e b^{2}. Comparando com a nossa expressão vemos:
(h,k)=(2,2),\qquad a^{2}=9\Rightarrow a=3,\qquad b^{2}=1\Rightarrow b=1.
Explicação rápida do que são a e b: a é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso; b está ligado à “largura” do retângulo auxiliar cuja diagonal ajuda a traçar as assíntotas.

Passo 5

Cálculo dos vértices: como o eixo transverso é horizontal, os vértices ficam em
(h\pm a,\,k) = (2\pm 3,\,2).
Portanto os vértices são
(5,2)\quad\text{e}\quad(-1,2).

Passo 6

Cálculo dos focos: para hipérbole da forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 vale
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Aqui
c^{2}=9+1=10\qquad\Rightarrow\qquad c=\sqrt{10}.
Como os focos ficam sobre o eixo transverso (horizontal), suas coordenadas são
(h\pm c,\,k) = \bigl(2\pm\sqrt{10},\,2\bigr).

Passo 7

Equações das assíntotas: para essa forma da hipérbole as assíntotas a partir do centro são retas com inclinações \pm \dfrac{b}{a}. Assim
y-k = \pm\frac{b}{a}(x-h).
Substituindo h=2, k=2, a=3, b=1:
y-2 = \pm\frac{1}{3}(x-2).
Colocando em forma explícita:
y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \qquad\text{e}\qquad y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}.

Passo 8

Eixos de simetria: a hipérbole é simétrica em relação às duas retas que passam pelo centro e são os eixos da cônica.
  • Eixo transverso (linha que passa pelos vértices): \;y=2.
  • Eixo conjugado (linha perpendicular passando pelo centro): \;x=2.
Essas duas retas são eixos de simetria porque trocar x por 2-(x-2) ou y por 2-(y-2) deixa a equação inalterada em termos de simetria central e axial.

Passo 9

Como desenhar o gráfico (passo a passo prático, estilo “faça na prova”):
  1. Marcar o centro (2,2).
  2. Marcar os vértices (5,2) e (-1,2).
  3. Marcar os focos \bigl(2\pm\sqrt{10},2\bigr) (aprox. 2\pm 3{,}162 → aproximadamente (5{,}162,2) e (-1{,}162,2)).
  4. Desenhar o retângulo auxiliar com semi-eixos a=3 horizontal e b=1 vertical. Os cantos desse retângulo são (5,3),(5,1),(-1,3),(-1,1).
  5. Traçar as diagonais desse retângulo: elas passam pelo centro e suas equações são exatamente as assíntotas encontradas. Isso dá as linhas-guia que os ramos da hipérbole vão seguir quando x\to\pm\infty.
  6. Desenhar os dois ramos da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, passando pelos vértices e se aproximando das assíntotas conforme se afasta do centro.
Dica para checar: o vértice (5,2) satisfaz a forma padrão \dfrac{(5-2)^2}{9}-\dfrac{(2-2)^2}{1}=1 (pois \dfrac{9}{9}-0=1), confirmando que está correto.

Resposta

Centro: (2,2)
Vértices: (5,2) e (-1,2)
Focos: \bigl(2+\sqrt{10},\,2\bigr) e \bigl(2-\sqrt{10},\,2\bigr)
Eixos de simetria: \;y=2 e \;x=2
Assíntotas: \;y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3} e \;y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{8}{3}

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