Determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e desenhe o gráfico das hipérboles com as suas assíntotas:
Passo 1
O enunciado dá a equação da cônica
e pede que se determine:
- o centro;
- os vértices;
- os focos;
- os eixos de simetria;
- o gráfico das hipérboles com as suas assíntotas (ou seja, as equações das assíntotas e indicação de como desenhar os ramos).
Lista das informações fornecidas: a equação completa da cônica acima. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever agrupando termos em
e em
:
Agora completamos o quadrado em
e em
. Para
:
Multiplicando por
obtemos
Para
:
portanto
Passo 3
Substituindo as identidades obtidas na equação original:
Somando os constantes
, vem
Passando o
para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por
para deixar o termo em
positivo:
Dividindo por
obtemos a forma padrão:
Passo 4
Interpretação da forma padrão: uma hipérbole na forma
tem centro
, eixo transverso horizontal (os ramos abrem para a esquerda e para a direita), com parâmetros
e
. Comparando com a nossa expressão vemos:
Explicação rápida do que são
e
:
é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso;
está ligado à “largura” do retângulo auxiliar cuja diagonal ajuda a traçar as assíntotas.
Passo 5
Cálculo dos vértices: como o eixo transverso é horizontal, os vértices ficam em
Portanto os vértices são
Passo 6
Cálculo dos focos: para hipérbole da forma
vale
Aqui
Como os focos ficam sobre o eixo transverso (horizontal), suas coordenadas são
Passo 7
Equações das assíntotas: para essa forma da hipérbole as assíntotas a partir do centro são retas com inclinações
. Assim
Substituindo
,
,
,
:
Colocando em forma explícita:
Passo 8
Eixos de simetria: a hipérbole é simétrica em relação às duas retas que passam pelo centro e são os eixos da cônica.
- Eixo transverso (linha que passa pelos vértices):
. - Eixo conjugado (linha perpendicular passando pelo centro):
.
Essas duas retas são eixos de simetria porque trocar
por
ou
por
deixa a equação inalterada em termos de simetria central e axial.
Passo 9
Como desenhar o gráfico (passo a passo prático, estilo “faça na prova”):
- Marcar o centro
. - Marcar os vértices
e . - Marcar os focos
(aprox. → aproximadamente e ). - Desenhar o retângulo auxiliar com semi-eixos
horizontal e vertical. Os cantos desse retângulo são . - Traçar as diagonais desse retângulo: elas passam pelo centro e suas equações são exatamente as assíntotas encontradas. Isso dá as linhas-guia que os ramos da hipérbole vão seguir quando
. - Desenhar os dois ramos da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, passando pelos vértices e se aproximando das assíntotas conforme se afasta do centro.
Dica para checar: o vértice
satisfaz a forma padrão
(pois
), confirmando que está correto.
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Eixos de simetria: e
Assíntotas: e
Vértices:
Focos:
Eixos de simetria:
Assíntotas: