Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Vértices (-2, \pm 3) e focos (-2, \pm 5).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação reduzida da hipérbole que tem vértices (-2,\pm 3) e focos (-2,\pm 5). Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • Vértices: (-2,3) e (-2,-3).
  • Focos: (-2,5) e (-2,-5).
    A tarefa é escrever a equação reduzida (forma padrão) dessa hipérbole.

Passo 2

Encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os vértices (ou entre os focos). Calcular o ponto médio entre (-2,3) e (-2,-3):
\text{centro}=\left(\frac{-2+(-2)}{2},\frac{3+(-3)}{2}\right)=(-2,0).
Também o ponto médio entre (-2,5) e (-2,-5) é (-2,0), confirmando o centro (-2,0).

Passo 3

Determinar a direção do eixo transverso (orientação da hipérbole). Observa-se que todos os vértices e focos têm a mesma abscissa x=-2 e as ordenadas variam em y. Isso significa que o eixo transverso é vertical (a hipérbole abre para cima e para baixo, ao longo do eixo y deslocado para x=-2).

Passo 4

Escrever a forma padrão (reduzida) para uma hipérbole com eixo transverso vertical e centro em (h,k). A forma padrão é
\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1.
Explicando as letras:
  • (h,k) é o centro da hipérbole.
  • a é a distância do centro até cada vértice (ou seja, a>0 e os vértices ficam em (h,k\pm a) no caso vertical).
  • c é a distância do centro até cada foco (os focos ficam em (h,k\pm c) no caso vertical).
  • Para hipérboles vale a relação
c^2 = a^2 + b^2,
que permite obter b^2 quando se conhece a e c. Essa relação vem da definição geométrica dos focos e das propriedades métricas da hipérbole (não é preciso provar aqui, mas é a fórmula padrão usada para hipérboles).

Passo 5

Calcular a a partir dos vértices. A distância do centro (-2,0) até o vértice (-2,3) é
a = 3,
pois |3-0|=3.

Passo 6

Calcular c a partir dos focos. A distância do centro (-2,0) até o foco (-2,5) é
c = 5,
pois |5-0|=5.

Passo 7

Calcular b^2 usando a relação c^2 = a^2 + b^2. Substituindo:
25 = 9 + b^2 \quad\Rightarrow\quad b^2 = 25-9 = 16.
Portanto b^2=16 (e b=4, se for preciso o valor positivo de b).

Passo 8

Substituir h=-2, k=0, a^2=9 e b^2=16 na forma padrão vertical:
\frac{(y-0)^2}{9}-\frac{(x-(-2))^2}{16}=1.
Simplificando:
\frac{y^2}{9}-\frac{(x+2)^2}{16}=1.

Resposta

\frac{y^2}{9}-\frac{(x+2)^2}{16}=1

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