Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Vértices
e focos
.
Vértices
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação reduzida da hipérbole que tem vértices
e focos
. Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
- Vértices:
e . - Focos:
e .
A tarefa é escrever a equação reduzida (forma padrão) dessa hipérbole.
Passo 2
Encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os vértices (ou entre os focos). Calcular o ponto médio entre
e
:
Também o ponto médio entre
e
é
, confirmando o centro
.
Passo 3
Determinar a direção do eixo transverso (orientação da hipérbole). Observa-se que todos os vértices e focos têm a mesma abscissa
e as ordenadas variam em
. Isso significa que o eixo transverso é vertical (a hipérbole abre para cima e para baixo, ao longo do eixo
deslocado para
).
Passo 4
Escrever a forma padrão (reduzida) para uma hipérbole com eixo transverso vertical e centro em
. A forma padrão é
Explicando as letras:
-
é o centro da hipérbole. -
é a distância do centro até cada vértice (ou seja, e os vértices ficam em no caso vertical). -
é a distância do centro até cada foco (os focos ficam em no caso vertical). - Para hipérboles vale a relação
que permite obter
quando se conhece
e
. Essa relação vem da definição geométrica dos focos e das propriedades métricas da hipérbole (não é preciso provar aqui, mas é a fórmula padrão usada para hipérboles).
Passo 5
Calcular
a partir dos vértices. A distância do centro
até o vértice
é
pois
.
Passo 6
Calcular
a partir dos focos. A distância do centro
até o foco
é
pois
.
Passo 7
Calcular
usando a relação
. Substituindo:
Portanto
(e
, se for preciso o valor positivo de
).
Passo 8
Substituir
,
,
e
na forma padrão vertical:
Simplificando: