Esboce o gráfico no intervalo [-2 pi, 2 pi] das seguintes funções: f(x)=-2 cos (x-pi2)+1

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos desenhar o gráfico de f(x) = -2 cos(x - π/2) + 1 no intervalo [-2π, 2π]. O conteúdo é transformações de funções trigonométricas (amplitude, período, deslocamentos e reflexão), e vamos precisar identificar esses parâmetros e marcar os pontos-chave para esboçar a curva.

Passo 2

Identificação das transformações: escrevemos f(x) na forma geral A cos(B(x - C)) + D, onde A = -2, B = 1, C = π/2 e D = 1. Isso significa que a amplitude é |A| = 2, o período é 2π/B = 2π, há uma reflexão vertical (porque A < 0), deslocamento horizontal de π/2 para a direita e deslocamento vertical de 1 para cima.

Passo 3

Marcação dos pontos-chave: como o período é 2π, um quarto de período vale π/2. Usamos t = x - π/2 e tomamos t = k·(π/2) para k = -5, -4, …, 3, de modo que x = π/2 + k·(π/2) varie entre -2π e 2π. Isso dá x = -2π, -3π/2, -π, -π/2, 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Calculamos f(x) = -2 cos(t)+1 nesses pontos:
  • Para x = -2π: t = -5π/2, cos(t)=0 → f = 1.
  • Para x = -3π/2: t = -2π, cos=1 → f = -1.
  • Para x = -π: t = -3π/2, cos=0 → f = 1.
  • Para x = -π/2: t = -π, cos=-1 → f = 3.
  • Para x = 0: t = -π/2, cos=0 → f = 1.
  • Para x = π/2: t = 0, cos=1 → f = -1.
  • Para x = π: t = π/2, cos=0 → f = 1.
  • Para x = 3π/2: t = π, cos=-1 → f = 3.
  • Para x = 2π: t = 3π/2, cos=0 → f = 1.

Passo 4

Esboço da curva: traçamos a reta média y = 1, marcamos máximos y = 3 nos pontos (–π/2, 3) e (3π/2, 3), mínimos y = –1 em (–3π/2, –1) e (π/2, –1), e as interseções com y = 1 em x = -2π, -π, 0, π, 2π. Unimos esses pontos com o formato típico de cosseno invertido, garantindo que o período seja 2π e o gráfico fique contínuo e suave.

Resposta

Gráfico de uma cossenoide invertida de amplitude 2 e período 2π, deslocada π/2 para a direita e 1 unidade para cima, com máximos em (–π/2, 3) e (3π/2, 3), mínimos em (–3π/2, –1) e (π/2, –1), e cruzando a reta média y = 1 nos pontos x = -2π, -π, 0, π e 2π.

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