Esboçe o gráfico no intervalo t >= 0.
f(t)=upi(t)-u3 pi(t)-cos (2 t)[upi(t)-u3 pi(t)].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos esboçar o gráfico da função $ f(t) = u_{\pi}(t) - u_{3\pi}(t) - \cos(2t)\left[u_{\pi}(t) - u_{3\pi}(t)\right] $ para $ t \geq 0 $. Aqui, estamos trabalhando com funções de degrau unitário, que são usadas para “ligar” e “desligar” partes da função em determinados pontos. Então, vamos precisar entender como essas funções de degrau e a função cosseno interagem para formar o gráfico final.

Passo 2

Vamos começar analisando as funções de degrau $ u_{\pi}(t) $ e $ u_{3\pi}(t) $. A função $ u_{\pi}(t) $ é zero para $ t < \pi $ e passa a ser 1 para $ t \geq \pi $. Similarmente, $ u_{3\pi}(t) $ é zero para $ t < 3\pi $ e 1 para $ t \geq 3\pi $. Isso significa que a diferença $ u_{\pi}(t) - u_{3\pi}(t) $ será 1 entre $ t = \pi $ e $ t = 3\pi $, e zero fora desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte da função que envolve o cosseno: $ \cos(2t)\left[u_{\pi}(t) - u_{3\pi}(t)\right] $. Como já vimos, $ u_{\pi}(t) - u_{3\pi}(t) $ é 1 entre $ \pi $ e $ 3\pi $ e zero fora desse intervalo. Então, essa parte da função será apenas $ \cos(2t) $ nesse intervalo e zero fora dele.

Passo 4

Juntando tudo, nossa função $ f(t) = u_{\pi}(t) - u_{3\pi}(t) - \cos(2t)\left[u_{\pi}(t) - u_{3\pi}(t)\right] $ pode ser simplificada para:
f(t) = upi(t) - u3pi(t) - cos(2t)[upi(t) - u3pi(t)]
Isso significa que a função é zero até $ t = \pi $, depois segue a forma $ 1 - \cos(2t) $ até $ t = 3\pi $, e volta a ser zero após esse ponto.

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  • De $ t = 0 $ até $ t = \pi $: $ f(t) = 0 $, então a função fica no eixo horizontal.
  • De $ t = \pi $ até $ t = 3\pi $: $ f(t) = 1 - \cos(2t) $. Essa é uma função cosseno modificada que oscila entre 0 e 2, começando em 0 quando $ t = \pi $ (já que $ \cos(2\pi) = 1 $) e retornando a 0 em $ t = 3\pi $ ($ \cos(6\pi) = 1 $).
  • Para $ t \geq 3\pi $: $ f(t) = 0 $ novamente, voltando ao eixo horizontal.

Resposta

O gráfico de $ f(t) $ para $ t \geq 0 $ é zero até $ t = \pi $. Entre $ \pi $ e $ 3\pi $, a função segue a forma $ 1 - \cos(2t) $, que oscila entre 0 e 2. Após $ t = 3\pi $, a função volta a ser zero. Assim, o gráfico consiste em uma região ativa entre $ \pi $ e $ 3\pi $ com oscilações cosseno e zero fora desse intervalo.

Exercícios relacionados