Resolva e esboçe o gráfico da solução.
y^prime prime+y=u3 pi(t), y(0)=1, y^prime(0)=0;

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + y = u_{3\pi}(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Aqui, $ u_{3\pi}(t) $ é a função degrau de Heaviside que ativa em $ t = 3\pi $. Para resolver essa equação, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática útil para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly = Y(s)
Lu3pi(t) = e^-3pi ss
Substituindo na equação:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - 0 + Y(s) = e^-3pi ss

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos com $ Y(s) $:
Y(s)
Isolando $ Y(s) $:
(s^2 + 1)Y(s) - s = e^-3pi ss

Passo 4

Vamos separar $ Y(s) $ em duas partes para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Y(s)
Sabemos que:
Y(s) = ss^2 + 1 + e^-3pi s cdot 1s(s^2 + 1)
E usando a propriedade da Transformada de Laplace para atrasos:
L^-1 ss^2 + 1 = cos(t)
Onde $ F(s) = \frac{1}{s(s^2 + 1)} $. A inversa de $ F(s) $ é:
L^-1 e^-as F(s) = ua(t) f(t - a)
Portanto:
F(s) = 1s(s^2 + 1)

Passo 5

Combinando as duas partes, a solução geral $ y(t) $ é:
y(t)
Simplificando $ \cos(t - 3\pi) = -\cos(t) $, pois $ \cos(t - \pi) = -\cos(t) $ e $ \cos(t - 2\pi) = \cos(t) $, então:
y(t) = cos(t) + u3pi(t) [1 - cos(t - 3pi)]

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = cos(t) + u3pi(t) [1 + cos(t)]
Isso significa que para $ t < 3\pi $, $ y(t) = \cos(t) $, e para $ t \geq 3\pi $, a função adiciona $ 1 + \cos(t) $, resultando em $ y(t) = \cos(t) + 1 + \cos(t) = 1 + 2\cos(t) $.

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