Resolva e esboçe o gráfico da solução.
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Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + y = u_{3\pi}(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Aqui, $ u_{3\pi}(t) $ é a função degrau de Heaviside que ativa em $ t = 3\pi $. Para resolver essa equação, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática útil para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Substituindo na equação:
Passo 3
Agora, vamos agrupar os termos com $ Y(s) $:
Isolando $ Y(s) $:
Passo 4
Vamos separar $ Y(s) $ em duas partes para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Sabemos que:
E usando a propriedade da Transformada de Laplace para atrasos:
Onde $ F(s) = \frac{1}{s(s^2 + 1)} $. A inversa de $ F(s) $ é:
Portanto:
Passo 5
Combinando as duas partes, a solução geral $ y(t) $ é:
Simplificando $ \cos(t - 3\pi) = -\cos(t) $, pois $ \cos(t - \pi) = -\cos(t) $ e $ \cos(t - 2\pi) = \cos(t) $, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Isso significa que para $ t < 3\pi $, $ y(t) = \cos(t) $, e para $ t \geq 3\pi $, a função adiciona $ 1 + \cos(t) $, resultando em $ y(t) = \cos(t) + 1 + \cos(t) = 1 + 2\cos(t) $.