Resolva os problemas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação $ y’’ + y = g(t) $, com condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = -1 $. A função $ g(t) $ é definida por partes: ela vale 1 quando $ 0 \leq t < \frac{\pi}{2} $ e -1 quando $ t \geq \frac{\pi}{2} $. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem, resolver a parte homogênea e a particular, além de considerar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ + y = 0 $. A solução geral dessa equação é dada por:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa $ y’’ + y = g(t) $. Como $ g(t) $ é uma função por partes, precisamos considerar dois casos:
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Para $ 0 \leq t < \frac{\pi}{2} $, onde $ g(t) = 1 $:Vamos supor uma solução particular constante $ y_p = A $. Substituindo na equação:Então, a solução particular nessa faixa é $ y_p = 1 $.
-
Para $ t \geq \frac{\pi}{2} $, onde $ g(t) = -1 $:Novamente, supondo $ y_p = A $:Então, a solução particular nessa faixa é $ y_p = -1 $.
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para cada faixa de $ t $:
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Para $ 0 \leq t < \frac{\pi}{2} $:
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Para $ t \geq \frac{\pi}{2} $:Aqui, usamos $ C_3 $ e $ C_4 $ para indicar que podem ser constantes diferentes após $ t = \frac{\pi}{2} $.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes:
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Em $ t = 0 $:
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Derivando $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
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Em $ t = 0 $:
Passo 6
Então, para a primeira faixa $ 0 \leq t < \frac{\pi}{2} $, a solução fica:
Passo 7
Agora, precisamos garantir que a solução seja contínua e diferenciável em $ t = \frac{\pi}{2} $. Isso significa que:
Usando $ y(t) = \cos(t) - \sin(t) + 1 $ para $ t < \frac{\pi}{2} $:
Agora, para $ t \geq \frac{\pi}{2} $, temos:
Igualando com 0:
Para a derivada:
Igualando com -1:
Passo 8
Então, para $ t \geq \frac{\pi}{2} $, a solução é:
Resposta
A solução completa da equação diferencial é: