Resolva os problemas
y^prime prime+y=g(t), y(0)=2, y^prime(0)=-1, g(t)=ll1, & 0 <= t= pi / 2 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação $ y’’ + y = g(t) $, com condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = -1 $. A função $ g(t) $ é definida por partes: ela vale 1 quando $ 0 \leq t < \frac{\pi}{2} $ e -1 quando $ t \geq \frac{\pi}{2} $. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem, resolver a parte homogênea e a particular, além de considerar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ + y = 0 $. A solução geral dessa equação é dada por:
y'' + y = 0
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa $ y’’ + y = g(t) $. Como $ g(t) $ é uma função por partes, precisamos considerar dois casos:
  1. Para $ 0 \leq t < \frac{\pi}{2} $, onde $ g(t) = 1 $:
    Vamos supor uma solução particular constante $ y_p = A $. Substituindo na equação:
    y'' + y = g(t)
    Então, a solução particular nessa faixa é $ y_p = 1 $.
  2. Para $ t \geq \frac{\pi}{2} $, onde $ g(t) = -1 $:
    Novamente, supondo $ y_p = A $:
    g(t)
    Então, a solução particular nessa faixa é $ y_p = -1 $.

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para cada faixa de $ t $:
  1. Para $ 0 \leq t < \frac{\pi}{2} $:
    t
  2. Para $ t \geq \frac{\pi}{2} $:
    0 <= t < pi2
    Aqui, usamos $ C_3 $ e $ C_4 $ para indicar que podem ser constantes diferentes após $ t = \frac{\pi}{2} $.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes:
  1. Em $ t = 0 $:
    t = 0
  2. Derivando $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
    y(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) + 1 = C1 + 0 + 1 = 2 implies C1 = 1
  3. Em $ t = 0 $:
    y(t)

Passo 6

Então, para a primeira faixa $ 0 \leq t < \frac{\pi}{2} $, a solução fica:
0 <= t < pi2

Passo 7

Agora, precisamos garantir que a solução seja contínua e diferenciável em $ t = \frac{\pi}{2} $. Isso significa que:
t = pi2
y(pi2^-) = y(pi2^+)
Usando $ y(t) = \cos(t) - \sin(t) + 1 $ para $ t < \frac{\pi}{2} $:
y'(pi2^-) = y'(pi2^+)
y(t) = cos(t) - sin(t) + 1
Agora, para $ t \geq \frac{\pi}{2} $, temos:
t < pi2
Igualando com 0:
y(pi2) = 0 - 1 + 1 = 0
Para a derivada:
y'(pi2) = -sin(pi2) - cos(pi2) = -1 - 0 = -1
Igualando com -1:
t >= pi2

Passo 8

Então, para $ t \geq \frac{\pi}{2} $, a solução é:
t >= pi2

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:
y(t) = cos(t) - sin(t) + 1, & 0 <= t < pi2, cos(t) + sin(t) - 1, & t >= pi2

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