- Seja
a) Verifique que
para todo
e todo
.
b) Olhe para o Exercício 32 e responda:
é diferenciável em
? Por quê?
34. Seja
diferenciável em
e tal que para todo
em
(1)
a) Verifique que a função
dada por
, onde
e
, é tal que
. Conclua que
para alguma função
, definida e diferenciável em
.
b) Determine uma família de soluções da equação (1).
b) Olhe para o Exercício 32 e responda:
34. Seja
(1)
b) Determine uma família de soluções da equação (1).
Passo 1
Enunciados e o que se pede (vou listar cada exercício separadamente e as informações dadas):\n
Exercício 32:\n
Exercício 32:\n
- Dada uma função \n
(a) Verificar que
para todo
e todo
.\n
(b) Usando o Exercício 32, responder se é diferenciável em
e justificar.\n\n
Exercício 34:\n
(b) Usando o Exercício 32, responder se
Exercício 34:\n
- Função
diferenciável em e para todo satisfaz\n \n
(a) Definir
com
e
. Verificar que
em
. Concluir que existe
tal que
.\n
(b) Determinar a família de soluções da equação .\n\n
Pronto — já sabemos exatamente o que é dado e o que cada item pede. Agora vamos resolver passo a passo, explicando os conceitos conforme aparecem.]
(b) Determinar a família de soluções da equação
Pronto — já sabemos exatamente o que é dado e o que cada item pede. Agora vamos resolver passo a passo, explicando os conceitos conforme aparecem.]
Passo 2
Exercício 32 — primeiro fato simples: valor em
.\n
Usando a propriedade com
obtemos, para todo
,\n
\n
Isto dá
\n
Explicação didática curta: é só escalar o argumento por ; do lado direito fica
multiplicando
, logo
. Esse passo é útil porque a diferenciabilidade em
será escrita em torno de
.
Explicação didática curta: é só escalar o argumento por
Passo 3
Exercício 32 — estratégia e definição de diferenciabilidade que vamos usar.\n
Definição (lembrete prático):
é diferenciável em
significa que existe uma aplicação linear
(que é a diferencial
) tal que, escrevendo
para um pequeno vetor,\n
\nonde
e
significa uma função que, dividida por
, tende a
quando
.\n\n
Comentário: a aplicação linear
pode ser representada por
, com
e
. Vamos usar essa forma.
Passo 4
Exercício 32 — construção da função de uma variável e uso da regra da cadeia.\n
Para um vetor fixo
(qualquer), considere a função de uma variável real\n
\n
Pelo enunciado temos exatamente a relação simples\n
\n
Dessa igualdade, a derivada de
em
(se existir) é\n
\nporque a derivada de
em
é
(note que
é constante em
aqui).\n\n
Por outro lado, usando a diferenciabilidade de
em
e a regra da cadeia, podemos calcular
assim: a derivada de
em
é o vetor
, e a derivada (diferencial) de
em
é a aplicação linear
mencionada; portanto\n
\n
Explicação da regra da cadeia num contexto simples: se
é diferenciável em
e
é uma curva diferenciável com
e
, então
.
Passo 5
Exercício 32 — conclusão por comparação das duas formas de
.\n
Juntando os dois cálculos de
obtemos\n
\n
Como
é linear, existe
e
tais que
. Portanto\n
\nou seja,
é linear.\n\n
Ainda explicando:
e
são as derivadas parciais de
em
, isto é
e
. Esse raciocínio foi possível porque a homogeneidade dada por
nos permitiu relacionar
com a derivada de
em
.
Passo 6
Exercício 33 (a) — verificar a propriedade de homogeneidade para a função concreta.\n
Se
, calculemos\n
\n
Se
então
e
. Portanto a igualdade vale para todo
e todo
. Conclusão: a propriedade está verificada.
Passo 7
Exercício 33 (b) — aplicação do Resultado do Exercício 32 para testar diferenciabilidade em
.\n
Pelo Exercício 32, se
fosse diferenciável em
e satisfaz a homogeneidade
, então
deveria ser linear, isto é existir
com\n
\n
Vamos calcular as derivadas parciais em
(pela definição) para identificar
e
e ver se isso bate com
fora da origem.
Passo 8
Exercício 33 (b) — cálculo das derivadas parciais em
.\n
Cálculo da derivada parcial em
:\n
\n
Cálculo da derivada parcial em
:\n
\n
Portanto, se
fosse diferenciável em
, a diferencial seria
, isto é
deveria ser
para todo
.
Passo 9
Exercício 33 (b) — mostrar contradição verificando um ponto fora da origem.\n
Verifiquemos em
: pela definição de
,\n
\nmas se
fosse linear igual a
teríamos
. Como
, há contradição com a conclusão do Exercício 32. Logo
não é diferenciável em
.\n\n
Comentário alternativo (mais direto): podemos também verificar a falha da definição de diferenciabilidade checando o quociente\n
ao longo da reta
— ele não tende a
; de fato
e dividido por
tende a
. Isso confirma que não há diferenciabilidade.
Passo 10
Exercício 34 (a) — calcular
pelo efeito da mudança de variáveis.\n
Definimos
com
e
. Aplicando a regra da cadeia para derivada parcial de
em relação a
:\n
\n
Aqui
porque
e
porque
. Portanto\n
\n
Pelo enunciado sabemos que essa soma é
para todo
, logo\n
Passo 11
Exercício 34 (a) — concluir que
depende só de
e existe
.\n
Se a derivada parcial de
em relação a
é
em toda
, isto significa que
é constante ao variar
com
fixo: para cada
fixo a função
é constante. Portanto existe uma função univariada
tal que\n
\n
Como
é diferenciável e a mudança de variáveis é linear e suave,
é diferenciável; daí
também é diferenciável (é a restrição de
a uma linha). Conclusão do item (a):
.
Passo 12
Exercício 34 (b) — expressão da família de soluções em termos de
.\n
Voltando às variáveis originais: como
e
, obtemos
. Usando
e
segue\n
\npara alguma
diferenciável. Essa é a família completa de soluções: qualquer função diferenciável univariada
fornece uma
que satisfaz\n
\npois
e
, cuja soma é
.\n\n
Exemplo concreto (ilustrativo): se
, então
é solução; se
então
é solução, etc.
Resposta
Exercício 32:
, com
e
.\n
Exercício 33 (a): Sim, para todo
e todo
.\n
Exercício 33 (b): não é diferenciável em
(porque, se fosse, pelo Exercício 32 teria que ser
para todo
, o que é falso, pois
).\n
Exercício 34 (a): e
para alguma função diferenciável
.\n
Exercício 34 (b): A família de soluções é , com
diferenciável.
Exercício 33 (a): Sim,
Exercício 33 (b):
Exercício 34 (a):
Exercício 34 (b): A família de soluções é