esboce o gráfico de \mathbf{r}(t) e mostre a direção de crescimento de t.
\mathbf{r}(t)=(3 t-4,6 t+2)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica \mathbf{r}(t) = (3t-4,\,6t+2) e a indicação da direção de aumento de t. O conteúdo envolve curvas paramétricas, conversão para equação cartesiana e identificação do vetor-direção.

Passo 2

Escrevendo em coordenadas:
x = 3t - 4
y = 6t + 2
Isolamos t em função de x:
t = \frac{x + 4}{3}
e substituímos em y:
y = 6\frac{x + 4}{3} + 2 = 2(x + 4) + 2 = 2x + 10.
Portanto, o traçado é uma reta de inclinação 2 com intercepto em y igual a 10.

Passo 3

O vetor-direção da parametrização são os coeficientes de t:
\mathbf{v} = (3,\,6),
que normalizado fica (1,2). Isso significa que, à medida que t cresce, o ponto se desloca para a direita e para cima segundo a razão 1:2.

Passo 4

Para indicar a seta de direção, escolhemos dois valores de t. Por exemplo:
\mathbf{r}(0) = (-4,\,2),
\mathbf{r}(1) = (-1,\,8).
No esboço, traçamos a reta \,y=2x+10, marcamos (-4,2) e (-1,8) e desenhamos uma seta saindo de (-4,2) em direção a (-1,8), seguindo o vetor (3,6).

Resposta

O gráfico é a reta
y = 2x + 10
orientada na direção do vetor (3,6) (equivalente a (1,2)), ou seja, uma seta para nordeste indicando t crescente.

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