(sorteio xiv)Dê exemplo de uma função quadrática cuja parábola associada tenha vértice \mathrm{V}=(2,9). Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) dar um exemplo de função quadrática cuja parábola associada tenha vértice \mathrm{V}=(2,9); (ii) esboçar o gráfico dessa parábola.
Informações relevantes fornecidas: o vértice é o ponto \mathrm{V}=(2,9). Nada mais foi imposto (por exemplo, não foi fixado o coeficiente líder a), então posso escolher um a conveniente.

Passo 2

Vamos aprender uma forma prática de escrever uma quadrática quando já conhecemos o vértice: a forma vértice (ou forma canônica). Ela é
f(x)=a(x-h)^2+k,
onde:
  • a é um número real diferente de zero que controla se a parábola abre para cima ( a>0) ou para baixo ( a<0) e quão “aberta” ou “estreita” ela é;
  • h e k são números reais tais que o vértice da parábola é (h,k). Ou seja, nesta forma o vértice é imediatamente visível.
    Portanto, para ter vértice (2,9) basta escolher h=2 e k=9 e qualquer a\neq0.

Passo 3

Escolho o caso mais simples: a=1. Assim proponho a função
f(x)=(x-2)^2+9.
Explicando: aqui h=2 e k=9, logo o vértice é (2,9). Como a=1>0, a parábola abre para cima (tem mínimo no vértice).

Passo 4

Expandindo a função para a forma polinomial usual (forma padrão) para ficar confortável com números:
(x-2)^2 = x^2-4x+4,
logo
f(x)=(x-2)^2+9 = x^2-4x+4+9 = x^2-4x+13.
Aqui a=1, b=-4, c=13 na forma f(x)=ax^2+bx+c.

Passo 5

Confirmando de outra maneira que o vértice é (2,9): a derivada primeira (quando se conhece cálculo) dá o eixo simetria. Calculando
f'(x)=2(x-2).
Igualando a zero obtemos 2(x-2)=0\Rightarrow x=2. Então a abscissa do vértice é x=2; substituindo em f,
f(2)=(2-2)^2+9=9.
Portanto, o vértice é (2,9), confirmado.

Passo 6

Alguns pontos úteis para desenhar a parábola:
  • Eixo de simetria: \;x=2 (linha vertical que passa pelo vértice).
  • Ponto vértice: \;(2,9).
  • Valor em x=0 (interseção com o eixo y):
f(0)=(0-2)^2+9=4+9=13,
então o ponto (0,13) é o intercepto em y.
  • Pontos simétricos em torno do eixo x=2: calcule f(1) e f(3):
f(1)=(1-2)^2+9=1+9=10,\qquad f(3)=(3-2)^2+9=10.
Assim (1,10) e (3,10) são dois pontos na parábola, simétricos em relação a x=2.
  • Raízes (interseção com o eixo x): resolver (x-2)^2+9=0 (x-2)^2=-9, impossível em reais. Ou usando discriminante: \Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot13=16-52=-36<0. Portanto, não há raízes reais — a parábola não cruza o eixo x (fica totalmente acima dele, já que o vértice tem y=9>0).

Passo 7

Como esboçar (passo a passo prático para você desenhar na prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos x e y. Marque a linha vertical x=2 (eixo de simetria).
  2. Plote o vértice (2,9).
  3. Plote os pontos (1,10) e (3,10) — eles ficam ligeiramente acima do vértice e são simétricos.
  4. Plote o intercepto em y: (0,13) (um pouco mais alto).
  5. Desenhe uma curva suave passando por esses pontos, com concavidade voltada para cima (pois a=1>0). Como não há raízes reais, a curva não cruza o eixo x.
    Se preferir, marque que a parábola é “esticada” na mesma taxa que y=(x-2)^2 porque a=1.

Passo 8

Resumo e motivação breve: qualquer função da forma \;f(x)=a(x-2)^2+9 com a\neq0 serve. Eu escolhi a=1 por simplicidade; isso dá uma parábola cujo vértice é exatamente (2,9), eixo de simetria x=2, abre para cima e não intercepta o eixo x.

Resposta

f(x)=(x-2)^2+9 = x^2-4x+13
Esboço: vértice em (2,9); eixo de simetria x=2; pontos (1,10), (3,10), (0,13); abre para cima e não tem raízes reais.

Exercícios relacionados