(sorteio xiv)Dê exemplo de uma função quadrática cuja parábola associada tenha vértice
. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) dar um exemplo de função quadrática cuja parábola associada tenha vértice
; (ii) esboçar o gráfico dessa parábola.
Informações relevantes fornecidas: o vértice é o ponto . Nada mais foi imposto (por exemplo, não foi fixado o coeficiente líder
), então posso escolher um
conveniente.
Informações relevantes fornecidas: o vértice é o ponto
Passo 2
Vamos aprender uma forma prática de escrever uma quadrática quando já conhecemos o vértice: a forma vértice (ou forma canônica). Ela é
onde:
-
é um número real diferente de zero que controla se a parábola abre para cima ( ) ou para baixo ( ) e quão “aberta” ou “estreita” ela é; -
e são números reais tais que o vértice da parábola é . Ou seja, nesta forma o vértice é imediatamente visível.
Portanto, para ter vérticebasta escolher e e qualquer .
Passo 3
Escolho o caso mais simples:
. Assim proponho a função
Explicando: aqui
e
, logo o vértice é
. Como
, a parábola abre para cima (tem mínimo no vértice).
Passo 4
Expandindo a função para a forma polinomial usual (forma padrão) para ficar confortável com números:
logo
Aqui
,
,
na forma
.
Passo 5
Confirmando de outra maneira que o vértice é
: a derivada primeira (quando se conhece cálculo) dá o eixo simetria. Calculando
Igualando a zero obtemos
. Então a abscissa do vértice é
; substituindo em
,
Portanto, o vértice é
, confirmado.
Passo 6
Alguns pontos úteis para desenhar a parábola:
- Eixo de simetria:
(linha vertical que passa pelo vértice). - Ponto vértice:
. - Valor em
(interseção com o eixo ):
então o ponto
é o intercepto em
.
- Pontos simétricos em torno do eixo
: calcule e :
Assim
e
são dois pontos na parábola, simétricos em relação a
.
- Raízes (interseção com o eixo
): resolver dá , impossível em reais. Ou usando discriminante: . Portanto, não há raízes reais — a parábola não cruza o eixo (fica totalmente acima dele, já que o vértice tem ).
Passo 7
Como esboçar (passo a passo prático para você desenhar na prova):
- Desenhe um sistema de eixos
e . Marque a linha vertical (eixo de simetria). - Plote o vértice
. - Plote os pontos
e — eles ficam ligeiramente acima do vértice e são simétricos. - Plote o intercepto em
: (um pouco mais alto). - Desenhe uma curva suave passando por esses pontos, com concavidade voltada para cima (pois
). Como não há raízes reais, a curva não cruza o eixo .
Se preferir, marque que a parábola é “esticada” na mesma taxa queporque .
Passo 8
Resumo e motivação breve: qualquer função da forma
com
serve. Eu escolhi
por simplicidade; isso dá uma parábola cujo vértice é exatamente
, eixo de simetria
, abre para cima e não intercepta o eixo
.
Resposta
Esboço: vértice em