Exemplo 2.3 (Funções racionais). Consideremos a função
\begin{aligned} & \psi: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\\ & \forall x \in D \quad \psi(x)=\frac{x^{2}+3}{x^{2}+2 x} \end{aligned}
A expressão designatória que define \psi é um quociente de dois polinómios e, por este motivo, \psi diz-se uma função racional.
O domínio D de \psi é o conjunto
D=\left\{x \in \mathbb{R} ; \quad x^{2}+2 x \neq 0\right\}=\{x \in \mathbb{R} ; \quad x(x+2) \neq 0\}=\mathbb{R} \backslash\{-2,0\} .
Mais geralmente,
Definição 4 (Função racional). Chamamos função racional a toda a função R definida em D \subset \mathbb{R} que é quociente de duas funções polinomiais.
De forma equivalente, R é função racional sse existirem duas funções polinomiais P e Q tais que, com
D=\{x \in \mathbb{R} ; Q(x) \neq 0\}
se tem
\forall x \in D \quad R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}

Passo 1

O enunciado dá a função
\psi: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},\qquad \forall x\in D\quad \psi(x)=\frac{x^{2}+3}{x^{2}+2x},
e fornece a definição geral de função racional. As perguntas que vamos responder (explicitamente) são:
  1. Qual é o domínio D da função?
  2. Mostrar que \psi é uma função racional (ou explicar por quê).
  3. Simplificar/transformar a expressão para estudar o comportamento da função (assíntotas, limites laterais nas singularidades, continuidade).
    Não vamos resolver nada ainda — só deixei claro o que está dado e o que vamos obter.

Passo 2

Mostrar que \psi é função racional e identificar os polinómios do quociente.
Uma função é racional se pode ser escrita como quociente de dois polinómios P(x) e Q(x) com Q não identicamente zero e definida onde Q(x)\neq0. Aqui podemos tomar
P(x)=x^{2}+3,\qquad Q(x)=x^{2}+2x.
Ambos P e Q são polinómios (são somas de potências de x com coeficientes reais). Portanto
\forall x\in D\quad \psi(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},
logo \psi é uma função racional. Expliquei: todo quociente de polinómios é racional; identificámos P e Q.

Passo 3

Determinar o domínio D resolvendo Q(x)\neq0.
Temos
Q(x)=x^{2}+2x=x(x+2).
Pelo princípio do produto nulo, Q(x)=0 quando x=0 ou x=-2. Logo devemos excluir esses valores do domínio. Portanto
D=\{x\in\mathbb{R}\;:\;x(x+2)\neq0\}=\mathbb{R}\setminus\{-2,0\}.
Expliquei: o domínio é todos os reais excepto os zeros do denominador.

Passo 4

Fazer divisão polinomial (ou comparação de graus) para obter forma que revela o comportamento para x grande.
Graus do numerador e denominador são os mesmos (grau 2). Podemos escrever
x^{2}+3 = 1\cdot(x^{2}+2x) + (-2x+3).
Isto é apenas fazer x^{2}+3 - (x^{2}+2x) = -2x+3. Portanto
\psi(x)=\frac{x^{2}+3}{x^{2}+2x}=1+\frac{-2x+3}{x^{2}+2x}.
Expliquei: quando graus são iguais, a divisão dá um quociente constante (aqui 1) mais um resto sobre o denominador; essa forma é útil para limites à infinidade e para decompor em frações simples.

Passo 5

Decompor a fração \dfrac{-2x+3}{x^{2}+2x}\) em frações parciais para analisar singularidades. Escrevemos \[\frac{-2x+3}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}.
Multiplicando por x(x+2) obtemos
-2x+3 = A(x+2)+Bx = (A+B)x + 2A.
Comparando coeficientes do polinómio no lado direito com o lado esquerdo dá o sistema
\begin{cases} A+B = -2,\\[4pt] 2A = 3. \end{cases}
Da segunda equação A=\dfrac{3}{2}\]. Substituindo na primeira, \[B = -2 - \frac{3}{2} = -\frac{7}{2}.\] Logo \[\frac{-2x+3}{x(x+2)}=\frac{3/2}{x}-\frac{7/2}{x+2},\] e portanto \[\psi(x)=1+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x}-\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{x+2}.\] Expliquei: decomposição em frações parciais é útil porque mostra termos do tipo \(1/x que dominam perto dos zeros do denominador.]

Passo 6

Estudar os limites laterais nas singularidades x=0 e x=-2 para identificar assíntotas verticais.
Usamos a forma com frações parciais. Primeiro x\to0^\pm:
\psi(x)=1+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x}-\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{x+2}.
Quando x\to0, \dfrac{1}{x+2}\to\dfrac{1}{2} (valor finito), enquanto \dfrac{1}{x} diverge. Assim:
\lim_{x\to0^+}\psi(x)=+\infty\quad\text{(porque }\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{x}\to+\infty\text{)},
\lim_{x\to0^-}\psi(x)=-\infty\quad\text{(porque }\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{x}\to-\infty\text{)}.
Portanto x=0 é assíntota vertical e os limites laterais têm sinais opostos (mais infinito pela direita, menos infinito pela esquerda).
Agora x\to-2^\pm. Quando x\to-2, \dfrac{1}{x}\to-\tfrac{1}{2} (valor finito), mas \dfrac{1}{x+2} diverge:
\lim_{x\to-2^+}\psi(x)=-\infty\quad\text{(pois }\tfrac{1}{x+2}\to +\infty\text{ e coeficiente }-\tfrac{7}{2}\text{ dá }-\infty\text{)},á
\lim_{x\to-2^-}\psi(x)=+\infty\quad\text{(pois }\tfrac{1}{x+2}\to -\infty\text{ e coeficiente }-\tfrac{7}{2}\text{ dá }+\infty\text{)}.á
Portanto x=-2 é assíntota vertical com limites laterais de sinais opostos também.
Expliquei: os termos em 1/x e 1/(x+2) dominam o comportamento perto das singularidades; o sinal do coeficiente determina se vai a +\infty ou -\infty.

Passo 7

Determinar a assíntota horizontal (comportamento quando x\to\pm\infty).
Como os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. Coeficiente líder do numerador é 1 e do denominador também 1, logo
\lim_{x\to\pm\infty}\psi(x)=\frac{1}{1}=1.
Podemos confirmar dividindo numerador e denominador por x^{2}:
\psi(x)=\frac{1+3/x^{2}}{1+2/x},
e ao x\to\infty os termos com 1/x e 1/x^{2} vão a 0, restando 1. Portanto existe a assíntota horizontal y=1.

Passo 8

Comentar sobre continuidade e tipos de descontinuidade.
Racionais são contínuas em todo ponto do domínio (onde o denominador não é zero). Assim \psi é contínua em todo D=\mathbb{R}\setminus\{-2,0\}. Nos pontos x=0 e x=-2 há descontinuidades essenciais do tipo pólos (assíntotas verticais), não-removíveis, porque os limites laterais divergem para infinito.

Passo 9

Exemplo rápido para fixar a ideia (um caso análogo, bem simples).
Considere f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}. Aqui x^{2}-1=(x-1)(x+1) tem zeros em x=\pm1, logo domínio \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}. Graus iguais → assíntota horizontal y=1. Próximo de x=1 e x=-1 temos assíntotas verticais. Isto reforça a técnica: fatorar denominador, excluir zeros para o domínio, dividir polinómios quando graus iguais, e usar frações parciais para estudar limites laterais.

Resposta

Classificação: função racional.
Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-2,0\}.
Forma útil (divisão polinomial): \displaystyle \psi(x)=1+\frac{-2x+3}{x^{2}+2x}.
Decomposição em frações parciais: \displaystyle \psi(x)=1+\frac{3/2}{x}-\frac{7/2}{x+2}.
Assíntotas verticais: x=0 e x=-2 com
\displaystyle \lim_{x\to0^+}\psi(x)=+\infty,\\ \lim_{x\to0^-}\psi(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to-2^+}\psi(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to-2^-}\psi(x)=+\infty.
Assíntota horizontal: y=1 (pois \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\psi(x)=1).
Continuidade: \psi é contínua em todo D=\mathbb{R}\setminus\{-2,0\} e tem pólos em x=0 e x=-2.

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