Exemplo 2.3 (Funções racionais). Consideremos a função
A expressão designatória que define
é um quociente de dois polinómios e, por este motivo,
diz-se uma função racional.
O domínio
de
é o conjunto
Mais geralmente,
Definição 4 (Função racional). Chamamos função racional a toda a função
definida em
que é quociente de duas funções polinomiais.
De forma equivalente,
é função racional sse existirem duas funções polinomiais
e
tais que, com
se tem
Definição 4 (Função racional). Chamamos função racional a toda a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e fornece a definição geral de função racional. As perguntas que vamos responder (explicitamente) são:
- Qual é o domínio
da função? - Mostrar que
é uma função racional (ou explicar por quê). - Simplificar/transformar a expressão para estudar o comportamento da função (assíntotas, limites laterais nas singularidades, continuidade).
Não vamos resolver nada ainda — só deixei claro o que está dado e o que vamos obter.
Passo 2
Mostrar que
é função racional e identificar os polinómios do quociente.
Uma função é racional se pode ser escrita como quociente de dois polinómios e
com
não identicamente zero e definida onde
. Aqui podemos tomar
Uma função é racional se pode ser escrita como quociente de dois polinómios
Ambos
e
são polinómios (são somas de potências de
com coeficientes reais). Portanto
logo
é uma função racional. Expliquei: todo quociente de polinómios é racional; identificámos
e
.
Passo 3
Determinar o domínio
resolvendo
.
Temos
Temos
Pelo princípio do produto nulo,
quando
ou
. Logo devemos excluir esses valores do domínio. Portanto
Expliquei: o domínio é todos os reais excepto os zeros do denominador.
Passo 4
Fazer divisão polinomial (ou comparação de graus) para obter forma que revela o comportamento para
grande.
Graus do numerador e denominador são os mesmos (grau ). Podemos escrever
Graus do numerador e denominador são os mesmos (grau
Isto é apenas fazer
. Portanto
Expliquei: quando graus são iguais, a divisão dá um quociente constante (aqui
) mais um resto sobre o denominador; essa forma é útil para limites à infinidade e para decompor em frações simples.
Passo 5
Decompor a fração
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes do polinómio no lado direito com o lado esquerdo dá o sistema
Da segunda equação
que dominam perto dos zeros do denominador.]
Passo 6
Estudar os limites laterais nas singularidades
e
para identificar assíntotas verticais.
Usamos a forma com frações parciais. Primeiro :
Usamos a forma com frações parciais. Primeiro
Quando
,
(valor finito), enquanto
diverge. Assim:
Portanto
é assíntota vertical e os limites laterais têm sinais opostos (mais infinito pela direita, menos infinito pela esquerda).
Agora
. Quando
,
(valor finito), mas
diverge:
Portanto
é assíntota vertical com limites laterais de sinais opostos também.
Expliquei: os termos em
e
dominam o comportamento perto das singularidades; o sinal do coeficiente determina se vai a
ou
.
Passo 7
Determinar a assíntota horizontal (comportamento quando
).
Como os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. Coeficiente líder do numerador é e do denominador também
, logo
Como os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. Coeficiente líder do numerador é
Podemos confirmar dividindo numerador e denominador por
:
e ao
os termos com
e
vão a
, restando
. Portanto existe a assíntota horizontal
.
Passo 8
Comentar sobre continuidade e tipos de descontinuidade.
Racionais são contínuas em todo ponto do domínio (onde o denominador não é zero). Assim é contínua em todo
. Nos pontos
e
há descontinuidades essenciais do tipo pólos (assíntotas verticais), não-removíveis, porque os limites laterais divergem para infinito.
Racionais são contínuas em todo ponto do domínio (onde o denominador não é zero). Assim
Passo 9
Exemplo rápido para fixar a ideia (um caso análogo, bem simples).
Considere . Aqui
tem zeros em
, logo domínio
. Graus iguais → assíntota horizontal
. Próximo de
e
temos assíntotas verticais. Isto reforça a técnica: fatorar denominador, excluir zeros para o domínio, dividir polinómios quando graus iguais, e usar frações parciais para estudar limites laterais.
Considere
Resposta
Classificação: função racional.
Domínio: .
Forma útil (divisão polinomial): .
Decomposição em frações parciais: .
Assíntotas verticais: e
com
Assíntota horizontal: (pois
).
Continuidade: é contínua em todo
e tem pólos em
e
.
Domínio:
Forma útil (divisão polinomial):
Decomposição em frações parciais:
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Continuidade: