Exemplo 2.2 (Funções polinomiais). Seja a função
\begin{aligned} & \varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\\ & \forall x \in \mathbb{R} \quad \varphi(x)=2+3 x+x^{2}-x^{3} . \end{aligned}
\varphi é função definida em \mathbb{R} e a respectiva expressão designatória é um polinómio de grau 3 (com coeficientes reais); por estas razões, \varphi diz-se uma função polinomial.
\varphi é soma de funções definidas em \mathbb{R} em que, por sua vez, cada parcela é uma função constante ou um produto (de dois ou mais factores) em que cada factor é a função identidade ou uma função constante.
Mais geralmente,
Definição 3 (Função polinomial). Chamamos função polinomial a toda a função P definida em \mathbb{R} e para a qual existem m \in \mathbb{N} e números reais a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{m} tais que
P(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{m} x^{m}=\sum_{j=0}^{m} a_{j} x^{j} .

Passo 1

O enunciado dá a função
\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad \forall x\in\mathbb{R}\quad \varphi(x)=2+3x+x^{2}-x^{3},
e afirma que esta expressão é um polinómio de grau 3. O que nos pede implicitamente é: mostrar (ou verificar) que \varphi é uma função da forma
P(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{m}x^{m}
com finitamente muitos termos, identificar os coeficientes a_{j} e determinar o grau m. As informações relevantes do enunciado são: a fórmula explícita de \varphi(x) e que o domínio é \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos recordar, com calma, a ideia que precisamos: uma função é dita de forma polinomial exactamente quando pode ser escrita como soma finita de potências de x multiplicadas por coeficientes reais. A forma geral é
P(x)=\sum_{j=0}^{m} a_{j}x^{j},
onde:
  • cada a_{j} é um número real chamado coeficiente do polinómio;
  • x^{j} é a potência inteira não negativa de x;
  • o número m é o maior expoente com coeficiente diferente de zero e chama-se grau do polinómio.
    Dica prática para a prova: se te derem uma expressão que é soma de termos do tipo constante, constante vezes x, constante vezes x^{2}, etc., então já é um polinómio — só tens de ler os coeficientes.

Passo 3

Agora, escrevemos a função dada em forma de soma de termos padrão (cada termo é um coeficiente vezes uma potência de x). Temos
\varphi(x)=2+3x+1\cdot x^{2}+(-1)\cdot x^{3}.
Por comparação com \displaystyle \sum_{j=0}^{m} a_{j}x^{j}, identificamos diretamente os coeficientes:
a_{0}=2,\qquad a_{1}=3,\qquad a_{2}=1,\qquad a_{3}=-1.
E todos os coeficientes a_{j} para j\ge 4 são 0.

Passo 4

Explicando o que cada coeficiente significa: o termo a_{0} é o termo constante (valor de \varphi(0)), a_{1} escala a parte linear x, a_{2} escala a parte quadrática x^{2} e assim por diante. Aqui a_{0}=2 significa que \varphi(0)=2, e de facto
\varphi(0)=2+3\cdot 0+0-0=2.
Isto confirma que as identificações dos coeficientes estão coerentes.

Passo 5

Definição prática de grau: o grau de um polinómio é o maior índice j tal que a_{j}\neq 0. No nosso caso, entre a_{0},a_{1},a_{2},a_{3} o último não nulo é a_{3}=-1. Logo o grau é 3. Formalmente:
\deg(\varphi)=3.

Passo 6

Mostro também por que cada parcela da expressão é um produto de funções simples (como pedido no enunciado): considere a função identidade definida por \mathrm{id}(x)=x e a função constante c(x)=c. Então cada monómio a_{j}x^{j} pode ser visto como o produto de funções
(a_{j}\cdot \mathrm{id}^{j})(x)=a_{j}\bigl(\mathrm{id}(x)\bigr)^{j}=a_{j}x^{j}.
Assim \varphi é soma de funções constantes e de produtos do tipo a_{j}\cdot \mathrm{id}^{j}, exatamente como o enunciado afirmava.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar o método (faça isto na prova): se te derem f(x)=5-2x^{2}+4x^{5}, tu decompões como a_{0}=5,\;a_{1}=0,\;a_{2}=-2,\;a_{3}=0,\;a_{4}=0,\;a_{5}=4 e concluis que f é polinómio de grau 5. O procedimento é sempre este: escrever, comparar coeficientes, escolher o maior expoente com coeficiente não nulo.

Passo 8

Um exercício prático (para treinar): avalia \varphi(2) para ver que sabes manipular o polinómio numericamente. Fazendo as contas passo a passo:
\varphi(2)=2+3\cdot 2+2^{2}-2^{3}=2+6+4-8=4.
Isto ajuda a ganhar confiança para a prova — polinómios são fáceis de avaliar manualmente.

Passo 9

Resumo didático-final (como proceder na prova quando virem uma função parecida):
  1. Escreve a expressão como soma de monómios a_{j}x^{j}.
  2. Identifica cada a_{j}.
  3. O grau é o maior j com a_{j}\neq 0.
  4. Se precisares, mostra que cada monómio é produto de uma constante e potências da identidade para justificar que é soma/produto de funções elementares.
    Vai dar certo — respira fundo e segue estes passos.

Resposta

\varphi(x)=2+3x+x^{2}-x^{3} é um polinómio com coeficientes a_{0}=2,\;a_{1}=3,\;a_{2}=1,\;a_{3}=-1.
\deg(\varphi)=3.

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