Exemplo 2.2 (Funções polinomiais). Seja a função
é função definida em
e a respectiva expressão designatória é um polinómio de grau 3 (com coeficientes reais); por estas razões,
diz-se uma função polinomial.
é soma de funções definidas em
em que, por sua vez, cada parcela é uma função constante ou um produto (de dois ou mais factores) em que cada factor é a função identidade ou uma função constante.
Mais geralmente,
Definição 3 (Função polinomial). Chamamos função polinomial a toda a função
definida em
e para a qual existem
e números reais
tais que
Definição 3 (Função polinomial). Chamamos função polinomial a toda a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e afirma que esta expressão é um polinómio de grau
. O que nos pede implicitamente é: mostrar (ou verificar) que
é uma função da forma
com finitamente muitos termos, identificar os coeficientes
e determinar o grau
. As informações relevantes do enunciado são: a fórmula explícita de
e que o domínio é
.
Passo 2
Vamos recordar, com calma, a ideia que precisamos: uma função é dita de forma polinomial exactamente quando pode ser escrita como soma finita de potências de
multiplicadas por coeficientes reais. A forma geral é
onde:
- cada
é um número real chamado coeficiente do polinómio; -
é a potência inteira não negativa de ; - o número
é o maior expoente com coeficiente diferente de zero e chama-se grau do polinómio.
Dica prática para a prova: se te derem uma expressão que é soma de termos do tipo constante, constante vezes, constante vezes , etc., então já é um polinómio — só tens de ler os coeficientes.
Passo 3
Agora, escrevemos a função dada em forma de soma de termos padrão (cada termo é um coeficiente vezes uma potência de
). Temos
Por comparação com
, identificamos diretamente os coeficientes:
E todos os coeficientes
para
são
.
Passo 4
Explicando o que cada coeficiente significa: o termo
é o termo constante (valor de
),
escala a parte linear
,
escala a parte quadrática
e assim por diante. Aqui
significa que
, e de facto
Isto confirma que as identificações dos coeficientes estão coerentes.
Passo 5
Definição prática de grau: o grau de um polinómio é o maior índice
tal que
. No nosso caso, entre
o último não nulo é
. Logo o grau é
. Formalmente:
Passo 6
Mostro também por que cada parcela da expressão é um produto de funções simples (como pedido no enunciado): considere a função identidade definida por
e a função constante
. Então cada monómio
pode ser visto como o produto de funções
Assim
é soma de funções constantes e de produtos do tipo
, exatamente como o enunciado afirmava.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar o método (faça isto na prova): se te derem
, tu decompões como
e concluis que
é polinómio de grau
. O procedimento é sempre este: escrever, comparar coeficientes, escolher o maior expoente com coeficiente não nulo.
Passo 8
Um exercício prático (para treinar): avalia
para ver que sabes manipular o polinómio numericamente. Fazendo as contas passo a passo:
Isto ajuda a ganhar confiança para a prova — polinómios são fáceis de avaliar manualmente.
Passo 9
Resumo didático-final (como proceder na prova quando virem uma função parecida):
- Escreve a expressão como soma de monómios
. - Identifica cada
. - O grau é o maior
com . - Se precisares, mostra que cada monómio é produto de uma constante e potências da identidade para justificar que é soma/produto de funções elementares.
Vai dar certo — respira fundo e segue estes passos.