Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=10-2 x-5 y.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função de duas variáveis f(x,y)=10-2x-5y. O conteúdo aqui é geometria analítica em R^3, mais especificamente o estudo de superfícies planas. Para desenhar, vamos usar o fato de que o gráfico de uma função afim é um plano, e basta encontrar três pontos não colineares.

Passo 2

Uma superfície que vem de uma função linear afim f(x,y)=ax+by+c é um plano em R^3. O gráfico é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que z=f(x,y). Para traçar um plano, a estratégia clássica é determinar as interseções com os eixos x, y e z.

Passo 3

Para a interceptação com o eixo z, basta tomar x=0 e y=0:
z=f(0,0)=10-2cdot0-5cdot0=10,
logo o ponto é (0,0,10).

Passo 4

Para a interceptação com o eixo x, definimos y=0 e procuramos z=0:
0=10-2x-5cdot0implies2x=10implies x=5,
logo o ponto é (5,0,0).

Passo 5

Para a interceptação com o eixo y, definimos x=0 e procuramos z=0:
0=10-2cdot0-5yimplies5y=10implies y=2,
logo o ponto é (0,2,0).

Passo 6

Agora que temos três pontos não colineares (5,0,0), (0,2,0) e (0,0,10), podemos esboçar o plano ligando esses pontos. Em um sistema de eixos tridimensionais, marque esses três pontos e desenhe o triângulo correspondente, estendendo-se a superfície plana que o contém.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=10-2x-5y é o plano que passa pelos pontos (5,0,0), (0,2,0) e (0,0,10). Para esboçá-lo, basta marcar esses pontos em um sistema de coordenadas 3D e traçar a superfície plana que os contém.

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