Esboce o gráfico das seguintes cônicas
2 x^{2}+4 y^{2}-6 y-8=0 \mathbf{R}. Elipse transladada para (0,3 / 4).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da cônica
2x^{2} + 4y^{2} - 6y - 8 = 0
Repare que é uma elipse (coeficientes de x^2 e y^2 são positivos). Para isso vamos transformar a equação na forma reduzida de elipse, completando quadrados em y e identificando o centro e os semi-eixos.

Passo 2

Divida toda a equação por 2 para simplificar os coeficientes:
x^{2} + 2y^{2} - 3y - 4 = 0.
Agrupe os termos em y para completar o quadrado:
x^{2} + 2\bigl(y^{2} - \tfrac{3}{2}y\bigr) - 4 = 0.

Passo 3

Dentro do parêntese, complete o quadrado em y:
y^{2} - \tfrac{3}{2}y = \Bigl(y - \tfrac{3}{4}\Bigr)^{2} - \Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{2} = \Bigl(y - \tfrac{3}{4}\Bigr)^{2} - \tfrac{9}{16}.
Substituindo na equação:
x^{2} + 2\Bigl[\Bigl(y - \tfrac{3}{4}\Bigr)^{2} - \tfrac{9}{16}\Bigr] - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 2\bigl(y - \tfrac{3}{4}\bigr)^{2} - \tfrac{9}{8} - 4 = 0.
Como -\tfrac{9}{8} - 4 = -\tfrac{9}{8} - \tfrac{32}{8} = -\tfrac{41}{8}, temos
x^{2} + 2\bigl(y - \tfrac{3}{4}\bigr)^{2} = \tfrac{41}{8}.

Passo 4

Agora colocamos na forma “ \dots=1”:
\frac{x^{2}}{\tfrac{41}{8}} \;+\;\frac{2\,(y - \tfrac{3}{4})^{2}}{\tfrac{41}{8}} = 1.
Note que
\frac{2}{\tfrac{41}{8}} = \frac{16}{41},
logo a equação reduzida é
\frac{x^{2}}{\tfrac{41}{8}} \;+\;\frac{(y - \tfrac{3}{4})^{2}}{\tfrac{41}{16}} = 1.
Dessa forma identificamos:
\bullet Centro C\bigl(0,\tfrac{3}{4}\bigr).
\bullet Semi-eixo maior (eixo em x) de comprimento
\displaystyle a = \sqrt{\tfrac{41}{8}}.
\bullet Semi-eixo menor (eixo em y) de comprimento
\displaystyle b = \sqrt{\tfrac{41}{16}}.

Passo 5

Para esboçar:
1. Marque o centro em \bigl(0,\tfrac{3}{4}\bigr).
2. Sobre a reta y=\tfrac{3}{4}, aponte os vértices horizontais em
\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{41}{8}},\,\tfrac{3}{4}\bigr).
3. Na reta x=0, aponte os vértices verticais em
\bigl(0,\,\tfrac{3}{4}\pm\sqrt{\tfrac{41}{16}}\bigr).
4. Una esses pontos com uma curva fechada e suave.

Resposta

Equação reduzida da elipse:
\frac{x^{2}}{\tfrac{41}{8}} \;+\;\frac{(y - \tfrac{3}{4})^{2}}{\tfrac{41}{16}} = 1,
centro em \Bigl(0,\tfrac{3}{4}\Bigr), semi-eixos
\displaystyle a=\sqrt{\tfrac{41}{8}} (horizontal) e
\displaystyle b=\sqrt{\tfrac{41}{16}} (vertical).
Esboce unindo suavemente os quatro vértices identificados acima.

Exercícios relacionados