Esboce o gráfico das seguintes cônicas
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y-19=0 ; \mathbf{R}. Hipérbole transladada para (1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
x^{2}-4y^{2}-2x+16y-19=0
e pede o esboço da hipérbole que resulta dessa equação. Para isso, vamos reconhecer o centro e colocar em forma canônica usando o método de completar quadrados.

Passo 2

Reagrupamos os termos em x e em y:
x^{2}-2x\;-\;4\bigl(y^{2}-4y\bigr)\;-\;19=0.
Agora completamos quadrado em cada grupo:
– Para x^{2}-2x adicionamos e subtraímos 1.
– Para y^{2}-4y adicionamos e subtraímos 4.
Fica
\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)\;-1 \;-\;4\bigl(y^{2}-4y+4\bigr)\;+16 \;-\;19=0.

Passo 3

Escrevendo os quadrados e somando as constantes:
(x-1)^{2} \;-\;4(y-2)^{2} \;+\;(-1+16-19)=0 \;\implies\; (x-1)^{2}-4(y-2)^{2}-4=0.
Isolando o termo constante:
(x-1)^{2}-4(y-2)^{2}=4.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 4, obtemos a forma canônica:
\frac{(x-1)^{2}}{4} \;-\; \frac{(y-2)^{2}}{1} \;=\; 1.
Dessa forma vemos que é uma hipérbole com:
– Centro em (1,2).
a^{2}=4\implies a=2 (eixo transverso horizontal).
b^{2}=1\implies b=1.
c^{2}=a^{2}+b^{2}=5\implies c=\sqrt{5}.

Passo 5

Características para o esboço:
– Vértices em (1\pm a,\,2), ou seja, em (3,2) e (-1,2).
– Focos em \bigl(1\pm\sqrt{5},\,2\bigr).
– Assíntotas com coeficiente angular \pm \tfrac{b}{a}=\pm\tfrac12 e passando pelo centro:
y-2 = \pm\tfrac12\,(x-1).
Para esboçar: marcar o centro (1,2), traçar os vértices à esquerda e à direita, desenhar as retas assíntotas e então desenhar dois ramos da hipérbole aproximando-se dessas retas.

Resposta

A hipérbole em forma canônica é
\frac{(x-1)^{2}}{4} - \frac{(y-2)^{2}}{1} = 1,
com centro em (1,2), vértices em (3,2) e (-1,2), foci em \bigl(1\pm\sqrt{5},2\bigr) e assíntotas
y-2 = \pm\tfrac12\,(x-1).
O esboço mostra dois ramos abertos horizontalmente, aproximando-se das assíntotas.

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