Algumas quádicas degeneram-se em pontos, retas ou planos. Faça corresponer a cada quádrica abaixo a descrição apropriada.
(i)
;
(ii)
;
(iii)
;
(iv)
;
(v)
.
( ) um plano ( ) um ponto ( ) nenhum ponto ( ) reta ( ) dois planos
R. (ii), (i), (iv), (iii), (v)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
( ) um plano ( ) um ponto ( ) nenhum ponto ( ) reta ( ) dois planos
R. (ii), (i), (iv), (iii), (v)
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada quádrica degenerada entre ponto, reta, plano, dois planos ou nenhum ponto. Vamos usar o fato de que uma soma de quadrados é sempre não–negativa e se iguala a zero somente quando cada termo quadrático vale zero; termos com sinais opostos podem fatorar em produtos lineares, indicando planos.
Passo 2
Analisando (i)
: como
,
e
são
, a soma só pode ser zero se
Logo a solução é o único ponto
.
Passo 3
Analisando (ii)
: temos
sem restrição em
ou
. Isso define o plano
no espaço
.
Passo 4
Analisando (iii)
: semelhante ao caso (i),
e
só somam zero se
mas
é livre. Assim a solução é a reta
.
Passo 5
Analisando (iv)
: o menor valor que
pode assumir é
, então
e não há solução real — conjunto vazio.
Passo 6
Analisando (v)
: fatorando,
logo ou
ou
. Isso são dois planos distintos.
Resposta
(ii) um plano
(i) um ponto
(iv) nenhum ponto
(iii) reta
(v) dois planos
(i) um ponto
(iv) nenhum ponto
(iii) reta
(v) dois planos