Algumas quádicas degeneram-se em pontos, retas ou planos. Faça corresponer a cada quádrica abaixo a descrição apropriada.
(i) x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=0;
(ii) z^{2}=0;
(iii) x^{2}+y^{2}=0;
(iv) x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=0;
(v) x^{2}-y^{2}=0.
( ) um plano ( ) um ponto ( ) nenhum ponto ( ) reta ( ) dois planos
R. (ii), (i), (iv), (iii), (v)

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada quádrica degenerada entre ponto, reta, plano, dois planos ou nenhum ponto. Vamos usar o fato de que uma soma de quadrados é sempre não–negativa e se iguala a zero somente quando cada termo quadrático vale zero; termos com sinais opostos podem fatorar em produtos lineares, indicando planos.

Passo 2

Analisando (i) x^{2}+3y^{2}+z^{2}=0: como x^{2}, 3y^{2} e z^{2} são \ge0, a soma só pode ser zero se
x=0,\quad y=0,\quad z=0.
Logo a solução é o único ponto (0,0,0).

Passo 3

Analisando (ii) z^{2}=0: temos
z=0,
sem restrição em x ou y. Isso define o plano z=0 no espaço (x,y,z).

Passo 4

Analisando (iii) x^{2}+y^{2}=0: semelhante ao caso (i), x^{2} e y^{2} só somam zero se
x=0,\quad y=0,
mas z é livre. Assim a solução é a reta \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Analisando (iv) x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=0: o menor valor que x^{2}+y^{2}+z^{2} pode assumir é 0, então
x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\ge1>0
e não há solução real — conjunto vazio.

Passo 6

Analisando (v) x^{2}-y^{2}=0: fatorando,
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=0,
logo ou x=y ou x=-y. Isso são dois planos distintos.

Resposta

(ii) um plano
(i) um ponto
(iv) nenhum ponto
(iii) reta
(v) dois planos

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