A excentricidade de uma elipse de semi-eixos a e b é dada por
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}
Segundo a Lei da Gravitação Universal elaborada pelo físico inglês Isaac Newton, os planetas movem-se em órbitas elípticas em torno do sol. Considerando que a excentricidade da órbita de Mercúrio é 0,21 , calcule a relação entre os eixos a e b.
R. 0,97777. Isto significa que, com boa aproximação, podemos considerar que as órbitas dos planetas são circulares.

Passo 1

O enunciado nos diz que uma órbita de planeta é uma elipse com semi-eixos a (semi-grande eixo) e b (semi-pequeno eixo) e que a excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}.
Para Mercúrio temos e = 0,21. O que nos pedem é a relação entre a e b, ou seja, quanto vale \tfrac{b}{a}.

Passo 2

Partindo da definição
e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}
multiplicamos ambos os lados por a e depois elevamos ao quadrado para isolar b:
a\,e = \sqrt{a^2 - b^2}
(a\,e)^2 = a^2 - b^2
b^2 = a^2 - a^2 e^2 = a^2\bigl(1 - e^2\bigr).

Passo 3

Tirando raiz quadrada em ambos os lados, obtemos
b = a\,\sqrt{1 - e^2}
e, portanto, a razão pedida é
\frac{b}{a} = \sqrt{1 - e^2}.

Passo 4

Substituindo e = 0,21:
\frac{b}{a} = \sqrt{1 - (0,21)^2} = \sqrt{1 - 0,0441} = \sqrt{0,9559} \approx 0,97777.

Resposta

\frac{b}{a} \approx 0,97777.
Isto mostra que a órbita de Mercúrio é muito próxima de um círculo.

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