Esboce o gráfico das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
. O conteúdo aqui é estudo de gráfico de função recíproca, e vamos precisar identificar domínio, assíntotas, pontos notáveis e comportamento assintótico.
Passo 2
O domínio da função é
o contradomínio (imagem) é
As retas que a função se aproxima sem jamais tocar são
como assíntota vertical e
como assíntota horizontal.
Passo 3
Para traçar o gráfico, vamos calcular alguns pontos-chaves. Quando
, temos
; quando
,
; quando
,
. Para
, por simetria,
dá
,
dá
e
dá
.
Passo 4
O coeficiente angular da curva em cada ponto é dado por
que é sempre negativo em
. Logo a função é estritamente decrescente em cada ramo (tanto em
quanto em
).
Passo 5
Com domínio, assíntotas, pontos e monotonicidade definidos, basta ligar suavemente os pontos de forma que a curva tenda a
quando
se aproxima de
e a
quando
vai a
(ramo no 3º quadrante), e tenda a
quando
vai a
e a
quando
vai a
(ramo no 1º quadrante).
Resposta
O gráfico de
é uma hipérbole equilátera com ramos nos quadrantes I e III, aproximando-se das retas
(assíntota vertical) e
(assíntota horizontal).