Esboce o gráfico das seguintes funções
y=1x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função y=1x. O conteúdo aqui é estudo de gráfico de função recíproca, e vamos precisar identificar domínio, assíntotas, pontos notáveis e comportamento assintótico.

Passo 2

O domínio da função é
D=xinRmid xneq 0,
o contradomínio (imagem) é
yinRmid yneq 0
As retas que a função se aproxima sem jamais tocar são
x=0
como assíntota vertical e
y=0
como assíntota horizontal.

Passo 3

Para traçar o gráfico, vamos calcular alguns pontos-chaves. Quando x=1, temos y=1; quando x=2, y=tfrac12; quando x=tfrac12, y=2. Para x<0, por simetria, x=-1 y=-1, x=-2 y=-tfrac12 e x=-tfrac12 y=-2.

Passo 4

O coeficiente angular da curva em cada ponto é dado por
f'(x)=-1x^2,
que é sempre negativo em xneq 0. Logo a função é estritamente decrescente em cada ramo (tanto em (-infty,0) quanto em (0,infty)).

Passo 5

Com domínio, assíntotas, pontos e monotonicidade definidos, basta ligar suavemente os pontos de forma que a curva tenda a -infty quando x se aproxima de 0^- e a 0^- quando x vai a -infty (ramo no 3º quadrante), e tenda a +infty quando x vai a 0^+ e a 0^+ quando x vai a +infty (ramo no 1º quadrante).

Resposta

O gráfico de y=1x é uma hipérbole equilátera com ramos nos quadrantes I e III, aproximando-se das retas x=0 (assíntota vertical) e y=0 (assíntota horizontal).

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