12: Se
e
, encontre as funções
a)
b)
c)
d)
e) Determine seus conjuntos domínio e imagem.
a)
b)
c)
d)
e) Determine seus conjuntos domínio e imagem.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pede as composições
,
,
,
e, para cada uma delas, determinar domínio e imagem.
Conteúdo necessário: definição de composição de funções, restrição de domínio (para que a composição faça sentido) e cálculo da imagem a partir do valor que a função interna produz.
Conteúdo necessário: definição de composição de funções, restrição de domínio (para que a composição faça sentido) e cálculo da imagem a partir do valor que a função interna produz.
Passo 2
Calcular
. Por definição,
Domínio: precisamos de
tal que
-
esteja no domínio de (que é ), e -
esteja no domínio de , ou seja, .
Logo
Imagem: como
percorre
quando
ou
, temos
cuja imagem é
.
Passo 3
Calcular
. Por definição,
Domínio:
deve estar no domínio de
, isto é
.
Imagem: percorre
quando
, então
percorre
. Subtraindo 9, a imagem de
é
Imagem:
Passo 4
Calcular
. Por definição,
Domínio: precisamos de
tal que
-
esteja no domínio de , ou seja , e -
, para que exista.
Logoimplica .
Imagem:percorre quando , e então percorre .
Passo 5
Calcular
. Por definição,
Domínio:
é definido em todos os reais, então
.
Imagem: defina ; então
e
Imagem: defina
Como
atinge seu mínimo
em
(isto é,
), o menor valor de
é
. E
cresce sem limite, logo a imagem é
.
Resposta
a)
,
domínio , imagem
.
domínio
b)
,
domínio , imagem
.
domínio
c)
,
domínio , imagem
.
domínio
d)
,
domínio , imagem
.
domínio