12: Se f(x)=ln x e g(x)=x^2-9, encontre as funções
a) f circ g
b) g circ f
c) f circ f
d) g circ g
e) Determine seus conjuntos domínio e imagem.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=ln x, g(x)=x^2-9
e pede as composições fcirc g, gcirc f, fcirc f, gcirc g e, para cada uma delas, determinar domínio e imagem.
Conteúdo necessário: definição de composição de funções, restrição de domínio (para que a composição faça sentido) e cálculo da imagem a partir do valor que a função interna produz.

Passo 2

Calcular fcirc g. Por definição,
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=lnl(x^2-9r)
Domínio: precisamos de x tal que
  1. x esteja no domínio de g (que é R), e
  2. g(x)=x^2-9 esteja no domínio de f, ou seja, x^2-9>0.
    Logo
x^2-9>0;Longrightarrow;x<-3ou x>3
Imagem: como x^2-9 percorre (0,infty) quando x<-3 ou x>3, temos
(fcirc g)(x)=ln(u)com uin(0,infty),
cuja imagem é (-infty,infty).

Passo 3

Calcular gcirc f. Por definição,
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=l(ln xr)^2-9
Domínio: x deve estar no domínio de f, isto é x>0.
Imagem: ln x percorre (-infty,infty) quando x>0, então (ln x)^2 percorre [0,infty). Subtraindo 9, a imagem de gcirc f é
[0,infty)-9=[-9,infty)

Passo 4

Calcular fcirc f. Por definição,
(fcirc f)(x)=fl(f(x)r)=lnl(ln xr)
Domínio: precisamos de x tal que
  1. x esteja no domínio de f, ou seja x>0, e
  2. ln x>0, para que ln(ln x) exista.
    Logo ln x>0 implica x>1.
    Imagem: ln x percorre (0,infty) quando x>1, e então ln(ln x) percorre (-infty,infty).

Passo 5

Calcular gcirc g. Por definição,
(gcirc g)(x)=gl(g(x)r)=l(x^2-9r)^2-9
Domínio: g é definido em todos os reais, então R.
Imagem: defina t=x^2-9; então tin[-9,infty) e
(gcirc g)(x)=t^2-9
Como t^2 atinge seu mínimo 0 em t=0 (isto é, x^2-9=0implies x=pm3), o menor valor de t^2-9 é -9. E t^2 cresce sem limite, logo a imagem é [-9,infty).

Resposta

a) (fcirc g)(x)=ln(x^2-9),
domínio xin(-infty,-3)cup(3,infty), imagem (-infty,infty).
b) (gcirc f)(x)=(ln x)^2-9,
domínio x>0, imagem [-9,infty).
c) (fcirc f)(x)=ln(ln x),
domínio x>1, imagem (-infty,infty).
d) (gcirc g)(x)=(x^2-9)^2-9,
domínio R, imagem [-9,infty).

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