Esboce o gráfico das seguintes funções. Além disso, calcule seus domínios e imagens.
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= x+2, & x<0, 1-x, & x>=0
O conteúdo envolve três tarefas: determinar o domínio de f, encontrar a imagem de f e esboçar o gráfico, que consiste em duas retas com ponto aberto/fechado em x=0.
Passo 2
Para achar o domínio, note que o primeiro ramo é válido para x<0 e o segundo para x>=0. A união desses intervalos é todo o conjunto dos números reais. Logo,
Domínio(f)=(-infty,0),cup,[0,infty)=R í
Passo 3
Considere o ramo f1(x)=x+2 definido em (-infty,0). Como é uma reta de coeficiente angular 1, contínua em todo o intervalo, temos
limxto-inftyf1(x)=-infty, limxto0^-f1(x)=2
O valor 2 não é atingido porque em x=0 usamos o outro ramo. Assim,
Ima>=m(f1)=(-infty,2)
Passo 4
Agora o ramo f2(x)=1-x em [0,infty). É uma reta de coeficiente angular -1, logo
f2(0)=1, limxto+inftyf2(x)=-infty
Aqui 1 é atingido (em x=0), e vai até -infty. Portanto
Ima>=m(f2)=(-infty,1]
Passo 5
A imagem total de f é a união das imagens dos dois ramos:
(-infty,2),cup,(-infty,1]=(-infty,2)
Passo 6
Descrição do gráfico:
Para x<0, é a reta y=x+2. Ela passa, por exemplo, por (-2,0) e (-1,1), e aproxima-se de (0,2) com ponto aberto em (0,2).
Para x>=0, é a reta y=1-x. Ela passa por (0,1) com ponto fechado, depois por (1,0), (2,-1) etc., decrescendo indefinidamente.
Resposta
Domínio: R
Imagem: (-infty,2)
Gráfico: reta y=x+2 em x<0 com ponto aberto em (0,2), e reta y=1-x em x>=0 com ponto fechado em (0,1).