A grandeza triang<= m v(t)=m v(t)-m v(0), onde v é a velocidade é chamada de quantidade de movimento de um corpo de massa m e, a grandeza I(t)=t cdot F(t), onde F(t)=m d vd t é uma força resultante que atua no corpo é chamada de impulso. Assim, se F equiv k temos
triang<= m v(t) & =m v(t)-m v(0)=integral0^t dd u[m v(u)] d u= & =integral0^t m d vd u d u=integral0^t F d u=I(t)
ou seja, se F equiv k o impulso é igual a quantidade de movimento.
Um peso de massa 1 kg é preso a uma mola cuja constante de elasticidade é 4 . No instante t=0 o peso recebe um golpe de cima que fornece instantaneamente 1 unidade de quantidade de movimento ao sistema e, no instante t=pi2 uma força senoidal de grandeza -sen(t-pi2) começa a agir verticalmente sobre o sistema. Ache a equação de movimento da massa.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa-mola vertical sem amortecimento, com massa m=1 kg e constante elástica k=4. A equação geral de movimento é
x''(t)+km,x(t)=F(t)m,
isto é
x''(t)+4,x(t)=F(t),
onde F(t) é a força externa. Segundo o enunciado, no instante t=0 aplica-se um impulso que fornece momento linear 1, logo
x(0)=0, x'(0)=1
A partir de t=tfracpi2 entra em ação a força
F(t)=-sin!l(t-tfracpi2r),
e para 0<= t<tfracpi2 temos F(t)=0.

Passo 2

Para 0<= t<tfracpi2 a equação é homogênea
x''+4x=0,
com condição inicial x(0)=0, x'(0)=1. A solução é
x(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)
Impondo x(0)=A=0 e x'(t)= -2Asin(2t)+2Bcos(2t)Rightarrow x'(0)=2B=1, obtemos
B=tfrac12,
logo
boxedx(t)=tfrac12sin(2t), 0<= t<tfracpi2

Passo 3

Precisamos dos valores em t=tfracpi2 para continuar:
xl(tfracpi2r)=tfrac12sin(pi)=0, x'l(tfracpi2r) =2cdottfrac12cos(pi)=cos(pi)=-1

Passo 4

Para t>=tfracpi2 a equação torna-se não homogênea:
x''+4x=underbrace-sin!l(t-tfracpi2r)F(t)
Usando a identidade sin(t-tfracpi2)=-cos t, temos F(t)=cos t. Procuramos
x(t)=xh(t)+xp(t),
com xh=Ccos(2t)+Dsin(2t) e tentativa de particular xp=acos t+bsin t. Substituindo em x''+4x=cos t
(4a-a)cos t+(4b-b)sin t=3acos t+3bsin t=cos t
!Rightarrow a=tfrac13,;b=0. Então
x(t)=Ccos(2t)+Dsin(2t)+tfrac13cos t
Impondo as condições em t0=tfracpi2:
xl(tfracpi2r)=Ccospi+Dsinpi+tfrac13cos(tfracpi2) =-C+0+0=0 Rightarrow C=0,
x'(t)= -2Csin(2t)+2Dcos(2t)-tfrac13sin t =2Dcos(2t)-tfrac13sin t,
x'l(tfracpi2r)=2Dcospi-tfrac13sin(tfracpi2) =-2D-tfrac13=-1 Rightarrow -2D=-tfrac23 Rightarrow D=tfrac13
Logo
boxedx(t)=tfrac13sin(2t)+tfrac13cos t, t>=tfracpi2

Resposta

Portanto, a solução completa é
x(t)= tfrac12sin(2t),&0<= t<tfracpi2,[6pt] tfrac13sin(2t)+tfrac13cos t, &t>=tfracpi2 ]

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