A grandeza , onde é a velocidade é chamada de quantidade de movimento de um corpo de massa e, a grandeza , onde é uma força resultante que atua no corpo é chamada de impulso. Assim, se temos
ou seja, se o impulso é igual a quantidade de movimento.
Um peso de massa 1 kg é preso a uma mola cuja constante de elasticidade é 4 . No instante o peso recebe um golpe de cima que fornece instantaneamente 1 unidade de quantidade de movimento ao sistema e, no instante uma força senoidal de grandeza começa a agir verticalmente sobre o sistema. Ache a equação de movimento da massa.
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador massa-mola vertical sem amortecimento, com massa kg e constante elástica . A equação geral de movimento é
isto é
onde é a força externa. Segundo o enunciado, no instante aplica-se um impulso que fornece momento linear , logo
A partir de entra em ação a força
e para temos .
Passo 2
Para a equação é homogênea
com condição inicial , . A solução é
Impondo e , obtemos
logo
Passo 3
Precisamos dos valores em para continuar:
Passo 4
Para a equação torna-se não homogênea:
Usando a identidade sin(t-tfracpi2)=-cos t, temos F(t)=cos t. Procuramos
x(t)=xh(t)+xp(t),
com xh=Ccos(2t)+Dsin(2t) e tentativa de particular xp=acos t+bsin t. Substituindo em x''+4x=cos t dá