Esboce o gráfico das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas (apenas a expressão da função):
- A função é
. - Não há imagens fornecidas.
O que precisamos obter para esboçar o gráfico (lista de tarefas que vou cumprir nos passos seguintes):
- domínio e interceptos;
- simetrias;
- comportamento quando
(assíntotas); - derivada primeira para monotonicidade e pontos críticos;
- derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão;
- valores numéricos de pontos importantes para marcar no esboço;
- instruções concretas de como desenhar o gráfico (onde fica acima/abaixo da assíntota, como conectar os pontos).
Passo 2
Domínio, zeros e simetria — vamos entender onde a função existe e alguns pontos iniciais.
-
Domínio. O denominador é
. Como e para todo , o denominador nunca é zero. Logo o domínio é (todos os reais). -
Zero da função / intercepto com os eixos. Zeros ocorrem quando o numerador é zero. Como o numerador é
, temos:
Portanto o único ponto onde a curva corta o eixo
(e o eixo
) é o ponto
.
- Simetria. Calcular
:
Como
, a função é ímpar — isto significa simetria central em relação à origem: o ramo para
é o “rotacionado 180º” do ramo para
. Na prática, basta desenhar bem o lado positivo e refletir pelo ponto
.
Passo 3
Comportamento para grandes
e assíntotas (dividindo polinômios).
Para entender a assíntota oblíqua, faço divisão do polinômio
por
. Observa-se que
portanto
Quando
, a fração
tende a
. Assim
ou seja, a assíntota oblíqua é a reta
. Não há assíntotas verticais (denominador nunca zero).
Também é útil saber de que lado a curva se aproxima da reta. Observe a diferença:
- Para
grande, , então : aproxima-se da reta por baixo à direita. - Para
grande negativo, , então : aproxima-se da reta por cima à esquerda.
Passo 4
Derivada primeira — monotonicidade e pontos críticos. Vou aplicar a regra do quociente e simplificar bem para interpretar o sinal.
A função é
. Pela regra do quociente,
Simplificando o numerador:
Portanto
Análise do sinal:
- O denominador
para todo . - O fator
e para todo . - Logo
para todo , e somente em .
Conclusão:
- A função é crescente em todo
(monotonicidade global). - Em
a derivada é zero, logo existe uma tangente horizontal aí, mas não é um máximo nem mínimo (porque a função é crescente antes e depois — trata-se de um ponto de tangente horizontal sem extremum).
Comentário didático rápido: ter
em todo
significa que à medida que
aumenta o valor de
nunca diminui; portanto o gráfico sobe continuamente da esquerda para a direita.
Passo 5
Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão. Vou derivar
e simplificar.
Seja
e
. Então
Calcule as derivadas:
Fazendo as contas (e simplificando um fator comum) obtém-se a forma reduzida
Agora os zeros do numerador determinam possíveis pontos de inflexão:
e
.
Análise do sinal de
(denominador sempre positivo):
- Para
: escolhe-se por exemplo. Tem-se e , logo e com o sinal negativo geral . Assim concavidade para cima em . - Para
: e , logo e com o sinal negativo . Assim concavidade para baixo em . - Para
: e , então e , logo . Concavidade para cima em . - Para
: e , então e . Concavidade para baixo em .
Portanto os pontos de inflexão são
(em cada um a concavidade muda de sinal).
Calcule os valores de
nesses
para marcar no esboço:
-
. - Para
: como e ,
- Para
: pelo caráter ímpar, .
Números aproximados para desenho:
e
.
Passo 6
Resumo dos pontos importantes e comportamento global (coisas para marcar no esboço):
- Domínio: todos os reais
. - Intercepto:
. - Simetria: função ímpar (simetria central na origem).
- Assíntota oblíqua:
. Ao desenhar, a curva aproxima-se de ; à direita fica sempre ligeiramente abaixo da reta, à esquerda ligeiramente acima (ver observação sobre do Passo 3). - Monotonicidade:
para todo ⇒ função estritamente crescente exceto tangente horizontal em . - Pontos de inflexão:
, , . - Concavidade:
- Concavidade para cima em
e em . - Concavidade para baixo em
e em .
- Concavidade para cima em
- Extremos: não existem máximos ou mínimos locais (apenas o ponto com tangente horizontal em
, sem mudança de sentido). - Valores numéricos práticos para marcar:
, , . - Comportamento para grandes
: para , por baixo; para , por cima.
Dica prática para esboçar: desenhe a reta
como referência. No lado direito, coloque o ponto de inflexão em
, curve a função concavamente para cima até esse ponto, depois passe a concavidade para baixo aproximando-se da reta
por baixo. No lado esquerdo, use simetria ímpar para espelhar: comece aproximando a reta por cima (para
), passe por
onde a concavidade muda, depois por
com tangente horizontal e inflexão, e siga o padrão do lado direito espelhado.
Passo 7
Pequeno reforço didático (para a prova): como você faria rápido numa folha durante a prova?
- Verifique domínio (denominador nunca zero) → domínio
. - Teste simetria: calcule
— se for , é ímpar → simetria na origem. - Faça divisão polinomial para a assíntota oblíqua:
→ assíntota . - Derive com regra do quociente e simplifique: se
para todo , a função é crescente (isso determina a direção geral do gráfico). - Derive de novo para achar
e zeros de → pontos de inflexão; use sinais para concavidade. - Marque os pontos numéricos principais e desenhe, lembrando da simetria ímpar.
Vai dar tudo certo — desenhe primeiro a reta
, marque os pontos
no eixo
com seus
-valores e ligue com as concavidades indicadas. Se você fizer isso devagar, o esboço sai limpo e correto.
Resposta
Domínio:
.
Intercepto: .
Simetria: função ímpar ( ).
Assíntota oblíqua: .
Monotonicidade: crescente em todo (
).
Pontos de inflexão: ,
,
.
Concavidade: concavo para cima em e
; côncavo para baixo em
e
.
Intercepto:
Simetria: função ímpar (
Assíntota oblíqua:
Monotonicidade: crescente em todo
Pontos de inflexão:
Concavidade: concavo para cima em