Esboce o gráfico das seguintes funções.
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+4}.
Informações dadas (apenas a expressão da função):
  • A função é f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+4}.
  • Não há imagens fornecidas.
O que precisamos obter para esboçar o gráfico (lista de tarefas que vou cumprir nos passos seguintes):
  • domínio e interceptos;
  • simetrias;
  • comportamento quando x\to\pm\infty (assíntotas);
  • derivada primeira para monotonicidade e pontos críticos;
  • derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão;
  • valores numéricos de pontos importantes para marcar no esboço;
  • instruções concretas de como desenhar o gráfico (onde fica acima/abaixo da assíntota, como conectar os pontos).

Passo 2

Domínio, zeros e simetria — vamos entender onde a função existe e alguns pontos iniciais.
  1. Domínio. O denominador é x^{2}+4. Como x^{2}\ge0 e x^{2}+4\ge4>0 para todo x, o denominador nunca é zero. Logo o domínio é \mathbb{R} (todos os reais).
  2. Zero da função / intercepto com os eixos. Zeros ocorrem quando o numerador é zero. Como o numerador é x^{3}, temos:
f(x)=0 \iff x^{3}=0 \iff x=0.
Portanto o único ponto onde a curva corta o eixo x (e o eixo y) é o ponto (0,0).
  1. Simetria. Calcular f(-x):
f(-x)=\frac{(-x)^{3}}{(-x)^{2}+4}=\frac{-x^{3}}{x^{2}+4}=-f(x).
Como f(-x)=-f(x), a função é ímpar — isto significa simetria central em relação à origem: o ramo para x>0 é o “rotacionado 180º” do ramo para x<0. Na prática, basta desenhar bem o lado positivo e refletir pelo ponto (0,0).

Passo 3

Comportamento para grandes |x| e assíntotas (dividindo polinômios).
Para entender a assíntota oblíqua, faço divisão do polinômio x^{3} por x^{2}+4. Observa-se que
x^{3}=(x)(x^{2}+4)-4x,
portanto
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+4}=x+\frac{-4x}{x^{2}+4}=x-\frac{4x}{x^{2}+4}.
Quando x\to\pm\infty, a fração \dfrac{4x}{x^{2}+4} tende a 0. Assim
\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-x\bigr)=0,
ou seja, a assíntota oblíqua é a reta y=x. Não há assíntotas verticais (denominador nunca zero).
Também é útil saber de que lado a curva se aproxima da reta. Observe a diferença:
f(x)-x=-\frac{4x}{x^{2}+4}.
  • Para x>0 grande, -\dfrac{4x}{x^{2}+4}<0, então f(x)<x: aproxima-se da reta y=x por baixo à direita.
  • Para x<0 grande negativo, -\dfrac{4x}{x^{2}+4}>0, então f(x)>x: aproxima-se da reta y=x por cima à esquerda.

Passo 4

Derivada primeira — monotonicidade e pontos críticos. Vou aplicar a regra do quociente e simplificar bem para interpretar o sinal.
A função é f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+4}. Pela regra do quociente,
f'(x)=\frac{(3x^{2})(x^{2}+4)-x^{3}(2x)}{(x^{2}+4)^{2}}.
Simplificando o numerador:
(3x^{2})(x^{2}+4)-2x^{4}=3x^{4}+12x^{2}-2x^{4}=x^{4}+12x^{2}=x^{2}(x^{2}+12).
Portanto
f'(x)=\frac{x^{2}(x^{2}+12)}{(x^{2}+4)^{2}}.
Análise do sinal:
  • O denominador (x^{2}+4)^{2}>0 para todo x.
  • O fator x^{2}\ge0 e x^{2}+12>0 para todo x.
  • Logo f'(x)\ge0 para todo x, e f'(x)=0 somente em x=0.
Conclusão:
  • A função é crescente em todo \mathbb{R} (monotonicidade global).
  • Em x=0 a derivada é zero, logo existe uma tangente horizontal aí, mas não é um máximo nem mínimo (porque a função é crescente antes e depois — trata-se de um ponto de tangente horizontal sem extremum).
Comentário didático rápido: ter f'(x)\ge0 em todo \mathbb{R} significa que à medida que x aumenta o valor de f(x) nunca diminui; portanto o gráfico sobe continuamente da esquerda para a direita.

Passo 5

Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão. Vou derivar f'(x)=\dfrac{x^{2}(x^{2}+12)}{(x^{2}+4)^{2}} e simplificar.
Seja N(x)=x^{2}(x^{2}+12)=x^{4}+12x^{2} e D(x)=(x^{2}+4)^{2}. Então
f''(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}.
Calcule as derivadas:
N'(x)=4x^{3}+24x,\qquad D'(x)=2(x^{2}+4)\cdot 2x=4x(x^{2}+4).
Fazendo as contas (e simplificando um fator comum) obtém-se a forma reduzida
f''(x)=\frac{-8x(x^{2}-12)}{(x^{2}+4)^{3}}.
Agora os zeros do numerador determinam possíveis pontos de inflexão: x=0 e x^{2}-12=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}.
Análise do sinal de f''(x) (denominador sempre positivo):
  • Para x<-2\sqrt{3}: escolhe-se x=-4 por exemplo. Tem-se x<0 e x^{2}-12>0, logo x(x^{2}-12)<0 e com o sinal negativo geral f''(x)>0. Assim concavidade para cima em (-\infty,-2\sqrt{3}).
  • Para -2\sqrt{3}<x<0: x<0 e x^{2}-12<0, logo x(x^{2}-12)>0 e com o sinal negativo f''(x)<0. Assim concavidade para baixo em (-2\sqrt{3},0).
  • Para 0<x<2\sqrt{3}: x>0 e x^{2}-12<0, então x(x^{2}-12)<0 e -8\cdot(\cdot)>0, logo f''(x)>0. Concavidade para cima em (0,2\sqrt{3}).
  • Para x>2\sqrt{3}: x>0 e x^{2}-12>0, então x(x^{2}-12)>0 e f''(x)<0. Concavidade para baixo em (2\sqrt{3},\infty).
Portanto os pontos de inflexão são x=-2\sqrt{3},\;x=0,\;x=2\sqrt{3} (em cada um a concavidade muda de sinal).
Calcule os valores de f nesses x para marcar no esboço:
  • f(0)=0.
  • Para x=2\sqrt{3}: como x^{2}=12 e x^{3}=x\cdot x^{2}=2\sqrt{3}\cdot 12=24\sqrt{3},
f(2\sqrt{3})=\frac{24\sqrt{3}}{12+4}=\frac{24\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
  • Para x=-2\sqrt{3}: pelo caráter ímpar, f(-2\sqrt{3})=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.
Números aproximados para desenho: \;2\sqrt{3}\approx 3{,}464 e \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2{,}598.

Passo 6

Resumo dos pontos importantes e comportamento global (coisas para marcar no esboço):
  • Domínio: todos os reais \mathbb{R}.
  • Intercepto: (0,0).
  • Simetria: função ímpar (simetria central na origem).
  • Assíntota oblíqua: y=x. Ao desenhar, a curva aproxima-se de y=x; à direita fica sempre ligeiramente abaixo da reta, à esquerda ligeiramente acima (ver observação sobre f(x)-x do Passo 3).
  • Monotonicidade: f'(x)\ge0 para todo x ⇒ função estritamente crescente exceto tangente horizontal em x=0.
  • Pontos de inflexão: \bigl(-2\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\bigr), (0,0), \bigl(2\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\bigr).
  • Concavidade:
    • Concavidade para cima em (-\infty,-2\sqrt{3}) e em (0,2\sqrt{3}).
    • Concavidade para baixo em (-2\sqrt{3},0) e em (2\sqrt{3},\infty).
  • Extremos: não existem máximos ou mínimos locais (apenas o ponto com tangente horizontal em x=0, sem mudança de sentido).
  • Valores numéricos práticos para marcar: (-2\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{2})\approx(-3{,}464,-2{,}598), (0,0), (2\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{2})\approx(3{,}464,2{,}598).
  • Comportamento para grandes x: para x\to+\infty, f(x)\sim x por baixo; para x\to-\infty, f(x)\sim x por cima.
Dica prática para esboçar: desenhe a reta y=x como referência. No lado direito, coloque o ponto de inflexão em (2\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{2}), curve a função concavamente para cima até esse ponto, depois passe a concavidade para baixo aproximando-se da reta y=x por baixo. No lado esquerdo, use simetria ímpar para espelhar: comece aproximando a reta por cima (para x\ll0), passe por (-2\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}) onde a concavidade muda, depois por (0,0) com tangente horizontal e inflexão, e siga o padrão do lado direito espelhado.

Passo 7

Pequeno reforço didático (para a prova): como você faria rápido numa folha durante a prova?
  1. Verifique domínio (denominador nunca zero) → domínio \mathbb{R}.
  2. Teste simetria: calcule f(-x) — se for -f(x), é ímpar → simetria na origem.
  3. Faça divisão polinomial para a assíntota oblíqua: f(x)=x-\dfrac{4x}{x^{2}+4} → assíntota y=x.
  4. Derive com regra do quociente e simplifique: se f'(x)\ge0 para todo x, a função é crescente (isso determina a direção geral do gráfico).
  5. Derive de novo para achar f'' e zeros de f'' → pontos de inflexão; use sinais para concavidade.
  6. Marque os pontos numéricos principais e desenhe, lembrando da simetria ímpar.
Vai dar tudo certo — desenhe primeiro a reta y=x, marque os pontos \pm2\sqrt{3} no eixo x com seus f-valores e ligue com as concavidades indicadas. Se você fizer isso devagar, o esboço sai limpo e correto.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Intercepto: (0,0).
Simetria: função ímpar ( f(-x)=-f(x)).
Assíntota oblíqua: y=x.
Monotonicidade: crescente em todo \mathbb{R} ( f'(x)=\dfrac{x^{2}(x^{2}+12)}{(x^{2}+4)^{2}}\ge0).
Pontos de inflexão: \bigl(-2\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\bigr), (0,0), \bigl(2\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\bigr).
Concavidade: concavo para cima em (-\infty,-2\sqrt{3}) e (0,2\sqrt{3}); côncavo para baixo em (-2\sqrt{3},0) e (2\sqrt{3},\infty).

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