Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=x^3(x-2)^2.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma série de potências centrada em zero para f(x)=x^3(x-2)^2 e determinar onde essa série converge. Vamos usar expansão de séries geométricas e derivadas.

Passo 2

Observe que podemos escrever o denominador de forma que caiba um padrão de série geométrica. Note que
(x-2)^2 = l(-2(1 - tfracx2)r)^2 = 4,(1 - tfracx2)^2
Logo,
1(x-2)^2 = 14,1(1 - tfracx2)^2

Passo 3

Sabemos da teoria de séries que para |t|<1
1(1 - t)^2 = sumn=0^infty(n+1)t^n
Aqui basta identificar t=tfracx2. Assim,
1(1 - tfracx2)^2 = sumn=0^infty(n+1)l(tfracx2r)^n,
desde que \left|\tfrac{x}{2}\right|<1.

Passo 4

Agora voltamos a f(x). Temos
f(x)=x^3cdot1(x-2)^2 = x^3cdot14sumn=0^infty(n+1)l(tfracx2r)^n
Isso dá
f(x)=sumn=0^inftyn+14,x^n+32^n

Passo 5

Para deixar no formato usual sumk=0akx^k, trocamos k=n+3. Então n=k-3 e n+1=k-2. A soma começa em n=0, ou seja, em k=3:
f(x)=sumk=3^inftyk-24,x^k2^k-3 = sumk=3^inftyk-22^k-1,x^k

Passo 6

O critério de convergência veio de |x/2|<1, ou seja, |x|<2. Não há convergência em x=pm2 por causa da singularidade em x=2. Portanto o raio de convergência é 2 e o intervalo de convergência é
(-2,2)

Resposta

f(x)=sumk=3^inftyk-22^k-1,x^k, com intervalo de convergência |x|<2 (isto é, (-2,2)).

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