Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma série de potências centrada em zero para
e determinar onde essa série converge. Vamos usar expansão de séries geométricas e derivadas.
Passo 2
Observe que podemos escrever o denominador de forma que caiba um padrão de série geométrica. Note que
Logo,
Passo 3
Sabemos da teoria de séries que para
Aqui basta identificar
. Assim,
desde que \left|\tfrac{x}{2}\right|<1.
Passo 4
Agora voltamos a
. Temos
Isso dá
Passo 5
Para deixar no formato usual
, trocamos
. Então
e
. A soma começa em
, ou seja, em
:
Passo 6
O critério de convergência veio de
, ou seja,
. Não há convergência em
por causa da singularidade em
. Portanto o raio de convergência é 2 e o intervalo de convergência é