Esboce o gráfico das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas (apenas a função):
- A função é
.
O que precisamos obter para esboçar o gráfico (lista das quantidades úteis que vou calcular nos próximos passos):
- domínio;
- assíntotas (vertical e oblíqua);
- interceptos com os eixos;
- derivada e pontos críticos (máximos/minímos locais, monotonicidade);
- segunda derivada (concavidade e possíveis pontos de inflexão);
- comportamento quando
e quando se aproxima de pontos que anulam o denominador.
Passo 2
Domínio: encontrar onde a expressão está definida. O denominador não pode ser zero, então resolver
dá
. Portanto o domínio é
Em notação de intervalo:
.
Passo 3
Reescrever a função para identificar assíntota oblíqua: fazer divisão polinomial ou observar que o grau do numerador é 2 e do denominador é 1, então há uma reta soma mais uma fração própria. Dividindo
por
:
Verificação rápida:
, resto
, logo a expressão acima está correta.
Passo 4
Assíntota vertical: aparece quando o denominador zera e o numerador não zera ao mesmo tempo. Aqui
é tal ponto. Assim existe assíntota vertical em
Comportamento próximo de
usando a forma
:
Portanto à esquerda de
a função vai para
, e à direita de
a função vai para
.
Passo 5
Assíntota oblíqua (reta guia para
): como obtido na divisão,
A diferença entre
e a reta
é
, que tende a
quando
. Logo a assíntota oblíqua é
Passo 6
Interceptos com os eixos:
- Intercepto em
(tomar ):
Portanto o gráfico passa pela origem
.
- Interceptos em
: resolver implica (pois ), logo (multiplicidade 2). Assim o único intercepto em é . Em particular a curva toca o eixo em .
Passo 7
Derivada primeira (para estudar monotonicidade e pontos críticos). Vou usar a regra do quociente: se
, então
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando:
Fatorando o numerador:
Passo 8
Pontos críticos e sinais da derivada:
- Zeros de
: e . - Pontos onde
não está definida: (fora do domínio).
Agora analisar o sinal deem cada intervalo determinado pelos pontos .
Observação: o denominadorpara todo , então o sinal de é dado pelo sinal do numerador . - Para
: e ⇒ produto ⇒ (função crescente). - Para
: mas ⇒ produto ⇒ (decrescente). - Para
: e ⇒ produto ⇒ (decrescente). - Para
: e ⇒ produto ⇒ (crescente).
Conclusões imediatas:
- Há um máximo local em
porque passa de positivo para negativo. Valor:
Logo máximo local em
.
- Há um mínimo local em
porque passa de negativo para positivo. Valor:
logo mínimo local em
. (Também observe que a tangente em
é horizontal, pois
.)
Passo 9
Derivada segunda (concavidade). Partindo de
, usarei a regra do produto e potência; o cálculo simplifica muito:
(Detalhe pequeno: ao derivar com cuidado chega-se a essa expressão simples.)
Sinal de
:
- Para
: ⇒ ⇒ função côncava para cima em . - Para
: ⇒ ⇒ função côncava para baixo em .
Observação: a concavidade muda de sinal em
, mas
não pertence ao domínio, portanto não há ponto de inflexão na região de definição; a mudança de concavidade acontece atravessando a assíntota vertical.
Passo 10
Comportamento nos extremos e relação com a assíntota oblíqua:
- Para
: , aproximando-se da reta por cima (pois para a fração ). - Para
: , aproximando-se da reta por baixo (pois para a fração ). - Próximo a
: já vimos que quando e quando .
Passo 11
Resumo prático dos pontos e características a marcar no esboço (coisas para colocar no papel):
- Domínio:
. - Assíntotas: vertical
; oblíqua . - Intercepto único:
(tangente horizontal aí). - Máximo local:
. - Mínimo local:
. - Monotonicidade:
- crescente em
(concavidade para baixo); - decrescente em
(concavidade para baixo); - decrescente em
(concavidade para cima); - crescente em
(concavidade para cima).
- crescente em
- Concavidade: côncava para baixo em
e côncava para cima em . - Comportamento para
: acompanha a reta , com diferença .
Com essas informações o esboço fica assim (descrição para desenhar):
- Trace a assíntota vertical
como reta tracejada; trace a régua . - Para
: comece muito à esquerda seguindo aproximadamente a linha por baixo; a curva sobe (crescente) com concavidade para baixo até atingir o ponto (máximo local), depois desce até ao aproximar-se de pela esquerda. - Para
: comece em chegando de cima ao cruzar logo após ; a função desce (decrescente) com concavidade para cima até tocar o eixo em (mínimo local, tangente horizontal), depois sobe (crescente) aproximando-se da reta por cima quando .
Resposta
Domínio:
Assíntotas: vertical ; oblíqua
Intercepto:
Extremos: máximo local em ; mínimo local em
Monotonicidade: crescente em e em
; decrescente em
e em
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
Assíntotas: vertical
Intercepto:
Extremos: máximo local em
Monotonicidade: crescente em
Concavidade: côncava para baixo em