Esboce o gráfico das seguintes funções.
f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f(x)=\dfrac{x^{2}}{x+1}.
Informações dadas (apenas a função):
  • A função é f(x)=\dfrac{x^{2}}{x+1}.
O que precisamos obter para esboçar o gráfico (lista das quantidades úteis que vou calcular nos próximos passos):
  • domínio;
  • assíntotas (vertical e oblíqua);
  • interceptos com os eixos;
  • derivada e pontos críticos (máximos/minímos locais, monotonicidade);
  • segunda derivada (concavidade e possíveis pontos de inflexão);
  • comportamento quando x\to\pm\infty e quando x se aproxima de pontos que anulam o denominador.

Passo 2

Domínio: encontrar onde a expressão está definida. O denominador não pode ser zero, então resolver x+1=0 x=-1. Portanto o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\}.
Em notação de intervalo: (-\infty,-1)\cup(-1,\infty).

Passo 3

Reescrever a função para identificar assíntota oblíqua: fazer divisão polinomial ou observar que o grau do numerador é 2 e do denominador é 1, então há uma reta soma mais uma fração própria. Dividindo x^{2} por x+1:
\frac{x^{2}}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}.
Verificação rápida: (x-1)(x+1)=x^{2}-1, resto 1, logo a expressão acima está correta.

Passo 4

Assíntota vertical: aparece quando o denominador zera e o numerador não zera ao mesmo tempo. Aqui x=-1 é tal ponto. Assim existe assíntota vertical em
x=-1.
Comportamento próximo de x=-1 usando a forma f(x)=x-1+\dfrac{1}{x+1}:
\lim_{x\to -1^-}f(x) = (-1)-1 + \lim_{x\to -1^-}\frac{1}{x+1} = -2 + (-\infty) = -\infty,
\lim_{x\to -1^+}f(x) = -2 + \lim_{x\to -1^+}\frac{1}{x+1} = -2 + (+\infty) = +\infty.
Portanto à esquerda de -1 a função vai para -\infty, e à direita de -1 a função vai para +\infty.

Passo 5

Assíntota oblíqua (reta guia para x\to\pm\infty): como obtido na divisão,
f(x)=x-1+\frac{1}{x+1}.
A diferença entre f(x) e a reta y=x-1 é \dfrac{1}{x+1}, que tende a 0 quando x\to\pm\infty. Logo a assíntota oblíqua é
y=x-1.

Passo 6

Interceptos com os eixos:
  • Intercepto em y (tomar x=0):
f(0)=\frac{0^{2}}{0+1}=0.
Portanto o gráfico passa pela origem (0,0).
  • Interceptos em x: resolver \dfrac{x^{2}}{x+1}=0 implica x^{2}=0 (pois x\neq -1), logo x=0 (multiplicidade 2). Assim o único intercepto em x é x=0. Em particular a curva toca o eixo x em 0.

Passo 7

Derivada primeira (para estudar monotonicidade e pontos críticos). Vou usar a regra do quociente: se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x^{2} e v(x)=x+1. Então u'(x)=2x e v'(x)=1. Aplicando:
f'(x)=\frac{2x(x+1)-x^{2}\cdot 1}{(x+1)^{2}}=\frac{2x^{2}+2x-x^{2}}{(x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}.
Fatorando o numerador:
f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}.

Passo 8

Pontos críticos e sinais da derivada:
  • Zeros de f': x=0 e x=-2.
  • Pontos onde f' não está definida: x=-1 (fora do domínio).
    Agora analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado pelos pontos -\infty,-2,-1,0,\infty.
    Observação: o denominador (x+1)^{2}>0 para todo x\neq -1, então o sinal de f' é dado pelo sinal do numerador x(x+2).
  • Para x<-2: x<0 e x+2<0 ⇒ produto >0 f'>0 (função crescente).
  • Para -2<x<-1: x<0 mas x+2>0 ⇒ produto <0 f'<0 (decrescente).
  • Para -1<x<0: x<0 e x+2>0 ⇒ produto <0 f'<0 (decrescente).
  • Para x>0: x>0 e x+2>0 ⇒ produto >0 f'>0 (crescente).
Conclusões imediatas:
  • Há um máximo local em x=-2 porque f' passa de positivo para negativo. Valor:
f(-2)=\frac{(-2)^{2}}{-2+1}=\frac{4}{-1}=-4.
Logo máximo local em (-2,-4).
  • Há um mínimo local em x=0 porque f' passa de negativo para positivo. Valor:
f(0)=0,
logo mínimo local em (0,0). (Também observe que a tangente em 0 é horizontal, pois f'(0)=0.)

Passo 9

Derivada segunda (concavidade). Partindo de f'(x)=x(x+2)(x+1)^{-2}, usarei a regra do produto e potência; o cálculo simplifica muito:
f''(x)=\frac{2}{(x+1)^{3}}.
(Detalhe pequeno: ao derivar com cuidado chega-se a essa expressão simples.)
Sinal de f'':
  • Para x>-1: (x+1)^{3}>0 f''(x)>0 ⇒ função côncava para cima em (-1,\infty).
  • Para x<-1: (x+1)^{3}<0 f''(x)<0 ⇒ função côncava para baixo em (-\infty,-1).
Observação: a concavidade muda de sinal em x=-1, mas x=-1 não pertence ao domínio, portanto não há ponto de inflexão na região de definição; a mudança de concavidade acontece atravessando a assíntota vertical.

Passo 10

Comportamento nos extremos e relação com a assíntota oblíqua:
  • Para x\to\infty: f(x)=x-1+\dfrac{1}{x+1}\to \infty, aproximando-se da reta y=x-1 por cima (pois para x>-1 a fração 1/(x+1)>0).
  • Para x\to -\infty: f(x)=x-1+\dfrac{1}{x+1}\to -\infty, aproximando-se da reta y=x-1 por baixo (pois para x<-1 a fração 1/(x+1)<0).
  • Próximo a x=-1: já vimos que f(x)\to -\infty quando x\to -1^{-} e f(x)\to +\infty quando x\to -1^{+}.

Passo 11

Resumo prático dos pontos e características a marcar no esboço (coisas para colocar no papel):
  • Domínio: x\neq -1.
  • Assíntotas: vertical x=-1; oblíqua y=x-1.
  • Intercepto único: (0,0) (tangente horizontal aí).
  • Máximo local: (-2,-4).
  • Mínimo local: (0,0).
  • Monotonicidade:
    • crescente em (-\infty,-2) (concavidade para baixo);
    • decrescente em (-2,-1) (concavidade para baixo);
    • decrescente em (-1,0) (concavidade para cima);
    • crescente em (0,\infty) (concavidade para cima).
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-1) e côncava para cima em (-1,\infty).
  • Comportamento para x\to\pm\infty: acompanha a reta y=x-1, com diferença \dfrac{1}{x+1}\to 0.
Com essas informações o esboço fica assim (descrição para desenhar):
  • Trace a assíntota vertical x=-1 como reta tracejada; trace a régua y=x-1.
  • Para x<-1: comece muito à esquerda seguindo aproximadamente a linha y=x-1 por baixo; a curva sobe (crescente) com concavidade para baixo até atingir o ponto (-2,-4) (máximo local), depois desce até -\infty ao aproximar-se de x=-1 pela esquerda.
  • Para x>-1: comece em +\infty chegando de cima ao cruzar logo após x=-1; a função desce (decrescente) com concavidade para cima até tocar o eixo em (0,0) (mínimo local, tangente horizontal), depois sobe (crescente) aproximando-se da reta y=x-1 por cima quando x\to\infty.

Resposta

Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,\infty)
Assíntotas: vertical x=-1; oblíqua y=x-1
Intercepto: (0,0)
Extremos: máximo local em (-2,-4); mínimo local em (0,0)
Monotonicidade: crescente em (-\infty,-2) e em (0,\infty); decrescente em (-2,-1) e em (-1,0)
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-1), côncava para cima em (-1,\infty)

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