Esboce o gráfico das seguintes funções, identificando cuidadosamente as amplitudes e períodos: y=-3 sen 2 theta.

Passo 1

A função dada é y = -3 sen 2θ. O conteúdo é transformação de gráficos de seno: vamos precisar entender amplitude, período e o efeito do sinal negativo para esboçar corretamente.

Passo 2

Amplitude é o valor absoluto do coeficiente que multiplica o seno. Aqui amplitude = |–3| = 3. Período de y = sen(bθ) vem de T = 2π/|b|, então T = 2π/2 = π.

Passo 3

O sinal negativo inverte o seno em relação ao eixo θ. Isso significa que o gráfico de y = sen(2θ) é refletido verticalmente. Então, em θ = 0, y = 0; e onde o seno original era positivo ele passa a ser negativo, e vice-versa.

Passo 4

Para ter pontos de referência, fazemos tabela num período [0,π]:
θ = 0 ⇒ y = -3·sen(0) = 0
θ = π/4 ⇒ y = -3·sen(π/2) = -3
θ = π/2 ⇒ y = -3·sen(π) = 0
θ = 3π/4 ⇒ y = -3·sen(3π/2) = +3
θ = π ⇒ y = -3·sen(2π) = 0

Passo 5

Com esses pontos marcados e sabendo que entre eles o gráfico é suave (forma de seno invertido), traçamos um arco passando por (0,0), (π/4,–3), (π/2,0), (3π/4,+3), (π,0). Esse padrão se repete a cada π.

Resposta

Amplitude = 3 e período = π. O gráfico é uma senoide invertida (refletida verticalmente) que começa em (0,0), atinge –3 em θ = π/4, volta a zero em θ = π/2, chega a +3 em θ = 3π/4 e retorna a zero em θ = π, repetindo esse ciclo a cada π.

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