Use o Teste da Razão da mostrar que, se a série sumn=0^infty cn x^n tem raio de convergência R, então cada uma das séries
sumn=1^infty n cn x^n-1 e sumn=0^infty cn x^n+1n+1
também tem raio de convergência R.

Passo 1

Estamos considerando a série sumn=0^infty cn x^n com raio de convergência R. Queremos mostrar que as séries sumn=1^infty n cn x^n-1 e sumn=0^infty cn x^n+1n+1 também têm raio R, usando o Teste da Razão.

Passo 2

Pelo Teste da Razão, definimos
L = limntoinfty |cn+1cn|
e então o raio de convergência da série original é
R = 1L

Passo 3

Para a primeira série, definimos os coeficientes an = n cn. Calculamos
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty (n+1)|cn+1|n|cn| = limntoinfty n+1n cdot |cn+1cn| = 1 cdot L = L
Logo, o raio de convergência desta série é
R1 = 1L = R

Passo 4

Para a segunda série, definimos bn = cnn+1. Calculamos
limntoinfty|bn+1bn| = limntoinfty |cn+1|/(n+2)|cn|/(n+1) = limntoinfty n+1n+2 cdot |cn+1cn| = 1 cdot L = L
Portanto, o raio de convergência desta série é
R2 = 1L = R

Resposta

Cada uma das séries solicitadas tem raio de convergência igual a R.

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