Mostre que
é solução da equação diferencial
Encontre uma função
tal que
seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções
e
são soluções fundamentais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação de Euler–Cauchy 2x²y’’–x
y’–9y=0 tem y₁(x)=x³ como solução, e em seguida encontrar uma função u(x) tal que y₂(x)=u(x)y₁(x) seja outra solução independente, provando que y₁ e y₂ formam um conjunto fundamental.
y’–9y=0 tem y₁(x)=x³ como solução, e em seguida encontrar uma função u(x) tal que y₂(x)=u(x)y₁(x) seja outra solução independente, provando que y₁ e y₂ formam um conjunto fundamental.
Passo 2
Calcular as derivadas de y₁ e verificar na equação original. Derivadas: y₁’=3x² e y₁’’=6x. Substituindo em 2x²y’’–x
y’–9y=0: 2x²·6x – x·3x² – 9x³ = 12x³ – 3x³ – 9x³ = 0, logo y₁ é solução.
y’–9y=0: 2x²·6x – x·3x² – 9x³ = 12x³ – 3x³ – 9x³ = 0, logo y₁ é solução.
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão dividindo por 2x² (x≠0) e aplicar redução de ordem. Divide-se:
y’’ - \frac{1}{2x}y’ - \frac{9}{2x^2}y = 0
y’’ - \frac{1}{2x}y’ - \frac{9}{2x^2}y = 0
Passo 4
Identifica-se P(x)= -1/(2x). A fórmula de redução de ordem diz que
y₂ = y₁ \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y₁^2} dx.
y₂ = y₁ \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y₁^2} dx.
Passo 5
Calcular o fator e^{-∫Pdx} e a integral:
\int P(x)dx = \int -\frac{1}{2x} dx = -\tfrac12\ln|x|
e^{-\int Pdx} = x^{1/2}
\int P(x)dx = \int -\frac{1}{2x} dx = -\tfrac12\ln|x|
e^{-\int Pdx} = x^{1/2}
Passo 6
A integral fica:
\int \frac{x{1/2}}{(x3)^2} dx = \int x^{-11/2} dx = -\tfrac{2}{9}x^{-9/2}
\int \frac{x{1/2}}{(x3)^2} dx = \int x^{-11/2} dx = -\tfrac{2}{9}x^{-9/2}
Passo 7
Desprezando constantes multiplicativas, escolhe-se u(x)=x^{-9/2}, portanto y₂(x)=x^3\cdot x{-9/2}=x{-3/2}.
Passo 8
Calcular o Wronskiano para verificar independência linear. Como y₂’= -\tfrac32 x^{-5/2}, temos
W(y₁,y₂)=y₁y₂’ - y₁’y₂ = x^3\bigl(-\tfrac32 x^{-5/2}\bigr) - 3x^2\cdot x^{-3/2} = -\tfrac92 x^{1/2} \neq 0
W(y₁,y₂)=y₁y₂’ - y₁’y₂ = x^3\bigl(-\tfrac32 x^{-5/2}\bigr) - 3x^2\cdot x^{-3/2} = -\tfrac92 x^{1/2} \neq 0
Passo 9
Logo y₁ e y₂ são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.
Resposta
u(x)=x^{-9/2}, assim y₂(x)=x^{-3/2}. O Wronskiano W(y₁,y₂) = -\tfrac92 x^{1/2} \neq 0, logo y₁ e y₂ são soluções fundamentais.