Esboce o gráfico das seguintes funções logarítmicas:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função logarítmica y = ln(x²). O conteúdo aqui envolve propriedades de logaritmos e transformações de funções logarítmicas; vamos precisar usar a definição de ln e a relação ln(x²) = 2·ln|x|.
Passo 2
Observamos que
Isso mostra que a função é definida para x ≠ 0, ou seja, o domínio é (-∞,0) ∪ (0,∞), e que o gráfico será obtido aplicando um esticamento vertical de fator 2 ao gráfico de y = ln|x|. Como a função depende de |x|, ela é simétrica em relação ao eixo y. Em outras palavras, o ramo à esquerda de x = 0 é espelho do ramo à direita.
Passo 3
Para encontrar interceptos com o eixo x, impomos y = 0:
Logo, o gráfico cruza o eixo x em (-1, 0) e (1, 0).
Passo 4
Identificamos a assimptota vertical: à medida que x → 0⁺ ou x → 0⁻, temos x² → 0 e ln(x²) → -∞. Portanto, há uma assimptota vertical em x = 0.
Passo 5
Analisamos o comportamento para grandes |x|: quando x → ±∞, x² → ∞ e ln(x²) → +∞. Ou seja, ambos os ramos crescem sem limite para a direita e para a esquerda, afastando-se verticalmente.
Passo 6
Podemos escolher alguns pontos de referência, por exemplo:
- Para x = e, y = ln(e²) = 2;
- Para x = -e, y = 2;
- Para x = e^{1/2}, y = ln(e) = 1;
- Para x = -e^{1/2}, y = 1.
Esses pontos ajudam a orientar o esboço do gráfico.
Resposta
O gráfico de y = ln(x²) é o de y = 2·ln|x|, simétrico em relação ao eixo y, com domínio x ≠ 0, assimptota vertical em x = 0 e interceptos em (-1,0) e (1,0). Ambos os ramos crescem indefinidamente quando |x| → ∞ e caem para -∞ quando x → 0.