Esboce o gráfico das seguintes funções logarítmicas:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar cinco funções logarítmicas: vamos trabalhar com domínio, assíntotas, interceptos e formato geral de cada gráfico. O conteúdo principal é transformação e análise de gráficos de funções logarítmicas usando propriedades de simetria e derivadas para monotonicidade e extremos.
Passo 2
Para a) y = ln(-x), x < 0: note que definindo t = -x > 0 temos y = ln(t), ou seja, é o gráfico de ln(x) refletido em torno do eixo y. O domínio é x < 0, há assíntota vertical em x = 0 e, à medida que x → 0–, y → –∞; conforme x → –∞, y → +∞. A função é crescente em todo o domínio.
Para b) y = ln(|x|): o domínio é x ≠ 0. Para x > 0 temos y = ln(x), e para x < 0 temos y = ln(–x), ou seja, os dois ramos de ln(x), um original e outro refletido no eixo y. Há assíntota vertical em x = 0 e nenhum intercepto em x, mas y cruza 0 em x = ±1.
Para b) y = ln(|x|): o domínio é x ≠ 0. Para x > 0 temos y = ln(x), e para x < 0 temos y = ln(–x), ou seja, os dois ramos de ln(x), um original e outro refletido no eixo y. Há assíntota vertical em x = 0 e nenhum intercepto em x, mas y cruza 0 em x = ±1.
Passo 3
Para c) y = ln(x)/x: domínio x > 0. Há assíntota vertical em x = 0+. Quando x → +∞, y → 0+. A derivada é (1 – ln(x))/x², zerando em x = e, onde a função atinge máximo y = 1/e. Em x = 1 cruzamos o eixo em y = 0; para 0 < x < 1 y é negativo e decresce até –∞ em x → 0+.
Para d) y = x
lm(x): domínio x > 0. Comportamento em x → 0+ tende a 0–, em x → +∞ vai a +∞. A derivada y’ = ln(x) + 1 zera em x = 1/e, gerando um mínimo y = –1/e nesse ponto. Cruza o eixo em x = 1.
Para d) y = x
lm(x): domínio x > 0. Comportamento em x → 0+ tende a 0–, em x → +∞ vai a +∞. A derivada y’ = ln(x) + 1 zera em x = 1/e, gerando um mínimo y = –1/e nesse ponto. Cruza o eixo em x = 1.
Passo 4
Para e) y = |ln(x)|: domínio x > 0. Se 0 < x < 1, ln(x) < 0 então y = –ln(x) = ln(1/x), decresce de +∞ em x → 0+ até 0 em x = 1. Se x ≥ 1, ln(x) ≥ 0 então y = ln(x), cresce de 0 em x = 1 até +∞ em x → +∞. O gráfico forma um “V” suave com vértice em (1,0).
Resposta
a) Gráfico de ln(x) refletido no eixo y, domínio x<0, assíntota em x=0, cresce de –∞ para +∞ em x→–∞.
b) Dois ramos de ln(x): original para x>0 e refletido para x<0, assíntota em x=0.
c) Para x>0, ramo com vertical em x=0+, cruza em (1,0), f<0 em (0,1), máximo em (e,1/e) e decai a 0+ em x→∞.
d) Para x>0, passa por (1,0), mínimo em (1/e,–1/e), tende a 0– em x→0+ e a +∞ em x→∞.
e) Para x>0, V com vértice em (1,0); ramo para 0<x<1 decresce de +∞ a 0, e para x>1 cresce de 0 a +∞.
b) Dois ramos de ln(x): original para x>0 e refletido para x<0, assíntota em x=0.
c) Para x>0, ramo com vertical em x=0+, cruza em (1,0), f<0 em (0,1), máximo em (e,1/e) e decai a 0+ em x→∞.
d) Para x>0, passa por (1,0), mínimo em (1/e,–1/e), tende a 0– em x→0+ e a +∞ em x→∞.
e) Para x>0, V com vértice em (1,0); ramo para 0<x<1 decresce de +∞ a 0, e para x>1 cresce de 0 a +∞.