Verifique que:
a) f(x+y)=f(x) f(y)+g(x) g(y)
b) g(x+y)=f(x) g(y)+f(y) g(x)
c) Analise o caso a=e.

Passo 1

O enunciado define as funções
f(x)=a^x+a^-x2, g(x)=a^x-a^-x2
e pede para mostrar as fórmulas de adição usando a propriedade de exponenciais a^x+y=a^x,a^y. Também vamos analisar o caso especial a=e.

Passo 2

Vamos provar que
f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)
Deixando explícito:
f(x+y)=a^x+y+a^-(x+y)2= a^x a^y + a^-xa^-y2
Note que
(f(x)+g(x))(f(y)+g(y))+(f(x)-g(x))(f(y)-g(y))=2l(f(x)f(y)+g(x)g(y)r)
e
Somando esses dois produtos:
Dividindo por 2 chega-se ao resultado desejado.

Passo 3

Agora vamos mostrar que
g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)
Começamos com
g(x+y)=a^x+y-a^-(x+y)2= a^x a^y - a^-xa^-y2
De novo, usando
(f(x)+g(x))(f(y)+g(y)) - (f(x)-g(x))(f(y)-g(y))=2l(f(x)g(y)+f(y)g(x)r)
e
subtraindo o segundo do primeiro obtemos
Dividindo por 2 conclui-se a identidade.

Passo 4

No caso especial a=e temos
f(x)=e^x+e^-x2=cosh x, g(x)=e^x-e^-x2=sinh x
Isso mostra que as fórmulas acima se reduzem exatamente às identidades de adição das funções hiperbólicas.

Resposta

Para a=e obtemos
f(x)=cosh x, g(x)=sinh x,
e as fórmulas verificadas são as conhecidas identidades de adição de cosseno hiperbólico e seno hiperbólico.

Exercícios relacionados