As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a)
se, e somente se,
.
b)
somente se,
.
c)
somente se,
.
d)
se, e somente se,
.
e)
somente se,
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
A questão quer a expressão explícita de cada função inversa hiperbólica (argsenh, argcosh, argtgh, argcotgh e argsech) a partir das definições dadas, usando as relações com exponenciais e aplicando logaritmo.
Passo 2
Para encontrar
, começamos de
. Como
, temos:
Multiplicando por 2 e por
:
Que é uma equação quadrática em
:
Resolvendo e escolhendo a raiz positiva:
logo
Passo 3
Para
, partimos de
com
. Assim:
Multiplicando por 2 e por
:
Equação quadrática em
:
A solução positiva é
portanto
Passo 4
Para
, usamos
e
. Sejam
:
Resolvendo para
:
Logo
Passo 5
Para
, partimos de
com
. Definindo
, obtemos:
Logo
Portanto
Passo 6
Para
, usamos e . Escrevendo em
:
t + \frac1t = \frac{2}{x}
t^2 - \frac{2}{x}t + 1 = 0
t = \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}-1} = \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x},\quad 0<x\le1
y = \ln\Bigl(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\Bigr),.
$$