As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a) y=argsenh(x) se, e somente se, senh(y)=x.
b) y=argcosh(x) se, e somente se, cosh (y)=x.
c) y=ar>gh(x) se, e somente se, tgh(y)=x.
d) y=argcotgh(x) se, e somente se, cotgh(y)=x.
e) y=argsech(x) se, e somente se, sech(y)=x.

Passo 1

A questão quer a expressão explícita de cada função inversa hiperbólica (argsenh, argcosh, argtgh, argcotgh e argsech) a partir das definições dadas, usando as relações com exponenciais e aplicando logaritmo.

Passo 2

Para encontrar y=argsenh(x), começamos de sinh(y)=x. Como sinh(y)=e^y-e^-y2, temos:
e^y-e^-y2 = x
Multiplicando por 2 e por e^y:
e^2y - 1 = 2x e^y
Que é uma equação quadrática em t=e^y:
t^2 - 2x t - 1 = 0
Resolvendo e escolhendo a raiz positiva:
t = x + raizx^2+1,,
logo
y = lnl(x+raizx^2+1r),

Passo 3

Para y=argcosh(x), partimos de cosh(y)=x com cosh(y)=e^y+e^-y2. Assim:
e^y+e^-y2 = x
Multiplicando por 2 e por e^y:
e^2y+1 = 2x e^y
Equação quadrática em t=e^y:
t^2 - 2x t + 1 = 0
A solução positiva é
t = x + raizx^2-1,,
portanto
y = lnl(x+raizx^2-1r),, x>=1,

Passo 4

Para y=ar>gh(x), usamos tanh(y)=x e tanh(y)=e^y-e^-ye^y+e^-y. Sejam t=e^2y:
t-1t+1 = x
Resolvendo para t:
t = 1+x1-x,, |x|<1
Logo
y = tfrac12lnl(1+x1-xr),

Passo 5

Para y=argcotgh(x), partimos de coth(y)=x com coth(y)=e^y+e^-ye^y-e^-y. Definindo t=e^2y, obtemos:
t+1t-1 = x
Logo
t = x+1x-1,, |x|>1
Portanto
y = tfrac12lnl(x+1x-1r),

Passo 6

Para y=argsech(x), usamos e . Escrevendo em sech(y)=x:
sech(y)=2e^y+e^-y$$
t + \frac1t = \frac{2}{x}
t=e^yá
t^2 - \frac{2}{x}t + 1 = 0
2t+1/t = x é
t = \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}-1} = \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x},\quad 0<x\le1
t + 1t = 2x
y = \ln\Bigl(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\Bigr),.
$$

Resposta

argsenh(x)=lnl(x+raizx^2+1r),
argcosh(x)=lnl(x+raizx^2-1r),;x>=1,
ar>gh(x)=tfrac12lnl(tfrac1+x1-xr),;|x|<1,
argcotgh(x)=tfrac12lnl(tfracx+1x-1r),;|x|>1,
argsech(x)=lnl(tfrac1+raiz1-x^2xr),;0.

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