Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=raiz16 cdot x^2-16 y^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função de duas variáveis dada por
f(x,y)=raiz16,x^2-16,y^2
Esse conteúdo envolve superfícies em R^3 e vamos usar seções transversais e curvas de nível para entender a forma do gráfico.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão de f(x,y). Como
raiz16,x^2=4,|x|
temos
f(x,y)=4,|x|-16,y^2
Isso deixa claro que o gráfico é a superfície
z=4,|x|-16,y^2

Passo 3

Analisamos as seções para planos paralelos ao plano xz (isto é, fixando y=y0). Para cada y0 constante,
z=4,|x|-16,y0^2
é a forma de um “V” em x, deslocado para baixo por 16,y0^2. Concluímos que, ao longo de cada reta y=y0, o corte é uma figura em V com vértice em (0,y0, -16y0^2) e “pontas” com declives pm4.

Passo 4

Em seguida, olhamos para seções em planos paralelos ao plano yz (fixando x=x0). Para cada x0 fixo,
z=4,|x0|-16,y^2
é uma parábola invertida em y, com máximo em y=0 igual a 4|x0|. Assim, cada reta x=x0 gera um “vale” parabólico voltado para baixo.

Passo 5

Para visualizar o contorno geral, estudamos as curvas de nível f(x,y)=c. Igualando:
4,|x|-16,y^2=cLongrightarrow |x|=c+16,y^24=c4+4,y^2
Então, para cada valor de c, as curvas de nível são dois ramos de parábolas no plano (x,y), simétricas em relação ao eixo y, com vértices em l(tfracc4,0r) e l(-tfracc4,0r).

Passo 6

Combinando as informações: ao variarmos x temos um “V” em x, ao variarmos y temos parábolas voltadas para baixo, e as curvas de nível confirmam a simetria em x e em y. O esboço deve mostrar uma crista em “V” ao longo de y=0, aberta no eixo z, e um decaimento quadrático para baixo conforme nos afastamos de y=0.

Resposta

O gráfico é a superfície
z=4,|x|-16,y^2,
que apresenta uma crista em forma de “V” sobre o eixo x (no plano y=0) e cai segundo parábolas invertidas ao longo do eixo y.

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