A função gama é definida para todo x>0 por
Gamma(x)=integral0^+infty t^x-1 e^-t d t
Calcule Gamma(1) e Gamma(2).

Passo 1

Temos a função Gama definida por
Gamma(x)=integral0^+inftyt^x-1e^-t,dt, x>0
O objetivo é calcular Gamma(1) e Gamma(2). Para isso vamos usar definição de integral imprópria e técnica de integração por partes.

Passo 2

Para calcular Gamma(1) note que x=1 faz t^x-1=t^0=1. Então
Gamma(1)=integral0^+inftye^-t,dt
Podemos avaliar essa integral imprópria diretamente:
integral0^+inftye^-t,dt=l[-e^-tr]0^+infty=0-(-1)=1
Logo Gamma(1)=1.

Passo 3

Para calcular Gamma(2) note que agora x=2 e o integrando é t^2-1e^-t=t e^-t. Assim
Gamma(2)=integral0^+inftyt e^-t,dt
Usamos integração por partes, escolhendo
u=t, dv=e^-t,dt
que dá
du=dt, v=-e^-t
Aplicando a fórmula integral u,dv=uv-integral v,du:
integral0^+inftyt e^-t,dt=l[-t e^-tr]0^+infty+integral0^+inftye^-t,dt
No limite tto+infty, tanto t e^-t quanto e^-t vão a zero, e já sabemos que integral0^+inftye^-t,dt=1. Portanto Gamma(2)=1.

Resposta

Gamma(1)=1 e Gamma(2)=1

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