Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
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Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x,y)=2+\sqrt{17−x{2}−y{2}+4x+4y} usando curvas de nível. O conteúdo é curvas de nível e geometria de superfícies. Vamos precisar completar quadrados para identificar domínio e as próprias curvas.
Passo 2
Precisamos primeiro do domínio de f, pois a raiz só existe se o radicando for não negativo: 17−x{2}−y{2}+4x+4y\ge0. Essa condição define onde f está bem definida.
Passo 3
Complete o quadrado em x e y no radicando: x{2}−4x=(x−2){2}−4 e y{2}−4y=(y−2){2}−4. Logo,
Passo 4
Portanto o domínio é o disco
Passo 5
Para cada nível c de f, temos f(x,y)=c ⇒
Passo 6
Elevando ao quadrado e reagrupando dá
Passo 7
Isso é um círculo de centro (2,2) e raio R©=\sqrt{25−(c−2)^{2}}. Para existir precisamos de c−2\ge0 e |c−2|\le5, ou seja c∈[2,7].
Passo 8
As curvas de nível no plano xy são círculos concêntricos em (2,2) que vão do raio 5 (para c=2) ao raio 0 (para c=7). Isso mostra que o gráfico de f é a metade superior da esfera de raio 5 centrada em (2,2,2).
Resposta
O gráfico de f(x,y)=2+\sqrt{17−x{2}−y{2}+4x+4y} é exatamente a hemisfera superior da esfera de centro (2,2,2) e raio 5, descrita pela equação
com z\ge2.