Resolva os problemas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais! A gente tem a equação $ y’’ + 3y’ + 2y = g(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. A função $ g(t) $ é definida por:
Então, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e transformada de Laplace para resolver essa equação com uma função forçante que muda de valor no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos. Ela é do tipo linear e não homogênea, porque tem o termo $ g(t) $. A parte homogênea é $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $. Para resolver a equação completa, a gente vai precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular devido à função $ g(t) $.
Passo 3
Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $. Isso envolve encontrar as raízes da equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são $ r_1 = -1 $ e $ r_2 = -2 $.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + 3y’ + 2y = g(t) $. Como $ g(t) $ é uma função por partes, vamos usar a transformada de Laplace para lidar com isso de forma mais fácil.
Passo 6
Aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação:
Sabendo que:
E $ y(0) = 0 $, $ y’(0) = 0 $, substituímos na equação:
Passo 7
Fatorando $ Y(s) $:
Precisamos agora encontrar $ \mathcal{L}{g(t)} $. Como $ g(t) $ é uma função que vale 1 de 0 a 10 e 0 após isso, podemos escrever $ g(t) $ usando a função degrau $ u(t) $:
A transformada de Laplace de $ u(t) $ é $ \frac{1}{s} $, então:
Passo 8
Substituindo na equação anterior:
Isolando $ Y(s) $:
Passo 9
Vamos simplificar $ s^2 + 3s + 2 $:
Então, temos:
Passo 10
Agora, vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da transformada:
Multiplicando ambos os lados por $ s(s + 1)(s + 2) $:
Para encontrar $ A $, $ B $, e $ C $:
- Para $ s = 0 $:
- Para $ s = -1 $:
- Para $ s = -2 $:
Então:
Passo 11
Substituindo de volta em $ Y(s) $:
Passo 12
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
Então, a transformada inversa de $ Y(s) $ será:
Passo 13
Simplificando a expressão:
Passo 14
Finalmente, combinamos os termos para apresentar a solução completa:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
Onde $ u(t - 10) $ é a função degrau que ativa os termos a partir de $ t = 10 $.