Resolva os problemas
y^prime prime+3 y^prime+2 y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=0, g(t)=ll1, & 0 <= t<10, 0, & t >= 10 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais! A gente tem a equação $ y’’ + 3y’ + 2y = g(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. A função $ g(t) $ é definida por:
y'' + 3y' + 2y = g(t)
Então, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e transformada de Laplace para resolver essa equação com uma função forçante que muda de valor no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos. Ela é do tipo linear e não homogênea, porque tem o termo $ g(t) $. A parte homogênea é $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $. Para resolver a equação completa, a gente vai precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular devido à função $ g(t) $.

Passo 3

Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $. Isso envolve encontrar as raízes da equação característica associada:
y'' + 3y' + 2y = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r^2 + 3r + 2 = 0
Então, as raízes são $ r_1 = -1 $ e $ r_2 = -2 $.

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + 3y’ + 2y = g(t) $. Como $ g(t) $ é uma função por partes, vamos usar a transformada de Laplace para lidar com isso de forma mais fácil.

Passo 6

Aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação:
Ly'' + 3Ly' + 2Ly = Lg(t)
Sabendo que:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0)
E $ y(0) = 0 $, $ y’(0) = 0 $, substituímos na equação:
y(0) = 0

Passo 7

Fatorando $ Y(s) $:
Y(s)
Precisamos agora encontrar $ \mathcal{L}{g(t)} $. Como $ g(t) $ é uma função que vale 1 de 0 a 10 e 0 após isso, podemos escrever $ g(t) $ usando a função degrau $ u(t) $:
Y(s)(s^2 + 3s + 2) = Lg(t)
A transformada de Laplace de $ u(t) $ é $ \frac{1}{s} $, então:
Lg(t)

Passo 8

Substituindo na equação anterior:
Y(s)(s^2 + 3s + 2) = 1s - e^-10ss
Isolando $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 9

Vamos simplificar $ s^2 + 3s + 2 $:
s^2 + 3s + 2
Então, temos:
s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)

Passo 10

Agora, vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da transformada:
1s(s + 1)(s + 2) = As + Bs + 1 + Cs + 2
Multiplicando ambos os lados por $ s(s + 1)(s + 2) $:
s(s + 1)(s + 2)
Para encontrar $ A $, $ B $, e $ C $:
  • Para $ s = 0 $:
1 = A(s + 1)(s + 2) + B s (s + 2) + C s (s + 1)
  • Para $ s = -1 $:
A
  • Para $ s = -2 $:
B
Então:
C

Passo 11

Substituindo de volta em $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 12

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-1 1s = 1
L^-1 1s + a = e^-at
Então, a transformada inversa de $ Y(s) $ será:
Y(s)

Passo 13

Simplificando a expressão:
y(t) = 12 - e^-t + 12 e^-2t - 12 u(t - 10) + e^-(t-10) u(t - 10) - 12 e^-2(t-10) u(t - 10)

Passo 14

Finalmente, combinamos os termos para apresentar a solução completa:
y(t) = 12 - e^-t + 12 e^-2t + ( -12 + e^-(t-10) - 12 e^-2(t-10) ) u(t - 10)

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(t) = 12 - e^-t + 12 e^-2t + ( -12 + e^-(t-10) - 12 e^-2(t-10) ) u(t - 10)
Onde $ u(t - 10) $ é a função degrau que ativa os termos a partir de $ t = 10 $.

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