Resolva os problemas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim: $ y’’ - y = g(t) $, com as condições iniciais $ y(0) = -1 $ e $ y’(0) = 2 $. A função $ g(t) $ é uma função por partes:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, $ y’’ - y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A solução geral dessa equação é uma combinação das soluções da equação característica associada.
A equação característica é:
Resolvendo para $ r $:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa $ y’’ - y = g(t) $. Como $ g(t) $ é uma função que muda em $ t = 1 $, vamos resolver para cada intervalo separadamente.
Para $ 0 \leq t < 1 $, $ g(t) = t $:
Tentamos uma solução particular da forma $ y_p(t) = At + B $. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para $ 0 \leq t < 1 $ é:
Para $ t \geq 1 $, $ g(t) = 1 $:
Tentamos uma solução particular constante, $ y_p(t) = K $. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular para $ t \geq 1 $ é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução geral com as soluções particulares para cada intervalo:
Para $ 0 \leq t < 1 $:
Para $ t \geq 1 $:
Note que usamos $ C_3 $ e $ C_4 $ para as constantes no segundo intervalo.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais $ y(0) = -1 $ e $ y’(0) = 2 $ para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $ na primeira solução:
Agora, a derivada da primeira solução:
Para $ t = 0 $:
Então, temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo em $ C_1 + C_2 = -1 $:
Passo 6
Agora, sabemos que para $ 0 \leq t < 1 $:
Para $ t \geq 1 $, precisamos garantir que a solução seja contínua e suave em $ t = 1 $. Então, igualamos as soluções nos dois intervalos em $ t = 1 $.
Calculamos $ y(1) $ na primeira solução:
E na segunda solução:
Igualando:
Simplificando:
Essa é uma equação que nos ajuda a determinar $ C_3 $ e $ C_4 $. Para simplificar, podemos assumir que as constantes são as mesmas da primeira solução, já que não há mais condições adicionais.
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: