Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
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Passo 1
O exercício pede a expansão em série de Fourier de uma função periódica de período 4, definida por partes: em [-2,0) vale f(t)=−½ t e em [0,2) vale f(t)=2t−½ t². Vamos usar o intervalo simétrico [-L,L] com L=2 e as fórmulas padrão de coeficientes a₀, aₙ, bₙ.
Passo 2
Antes de tudo, esboçamos o gráfico em um período: sobre [-2,0] é uma reta que vai de f(−2)=1 a f(0)=0; sobre [0,2] é a parábola f(t)=2t−½t² que vai de f(0)=0 a f(2)=2; e então repetimos esse padrão a cada 4 unidades.
Passo 3
Calculamos a₀ pela fórmula
Passo 4
Para os coeficientes de cosseno usamos
separando as integrais em [-2,0] e [0,2] e fazendo integração por partes. O resultado simplificado é
Passo 5
Para os coeficientes de seno usamos
de forma análoga por partes. O resultado final fica
Passo 6
Por fim, a série de Fourier fica:
A série acima converge para f(t) em todos os t e o gráfico é o esboço repetido a cada 4 unidades.