Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
f(t)=rl-12 t, & se -2 <= t<0, 2 t-12 t^2, & se 0 <= t<2, f(t+4)=f(t), forall t in R.

Passo 1

O exercício pede a expansão em série de Fourier de uma função periódica de período 4, definida por partes: em [-2,0) vale f(t)=−½ t e em [0,2) vale f(t)=2t−½ t². Vamos usar o intervalo simétrico [-L,L] com L=2 e as fórmulas padrão de coeficientes a₀, aₙ, bₙ.

Passo 2

Antes de tudo, esboçamos o gráfico em um período: sobre [-2,0] é uma reta que vai de f(−2)=1 a f(0)=0; sobre [0,2] é a parábola f(t)=2t−½t² que vai de f(0)=0 a f(2)=2; e então repetimos esse padrão a cada 4 unidades.

Passo 3

Calculamos a₀ pela fórmula a₀=1Lintegral-L^Lf(t),dt=12l(integral-2^0-tfrac12t,dt+integral0^2(2t-tfrac12t^2),dtr)=116

Passo 4

Para os coeficientes de cosseno usamos an=1Lintegral-L^Lf(t)cosl(tfracnpi tLr)dt,separando as integrais em [-2,0] e [0,2] e fazendo integração por partes. O resultado simplificado é an=(-1)^n-5n^2pi^2

Passo 5

Para os coeficientes de seno usamos bn=1Lintegral-L^Lf(t)sinl(tfracnpi tLr)dt,de forma análoga por partes. O resultado final fica bn=-(-1)^nnpi+4l(1-(-1)^nr)n^3pi^3

Passo 6

Por fim, a série de Fourier fica:
f(t)=a02+sumn=1^inftyl[ancosl(tfracnpi t2r)+bnsinl(tfracnpi t2r)r],com
a0=tfrac116, an=(-1)^n-5n^2pi^2, bn=-(-1)^nnpi+4(1-(-1)^n)n^3pi^3
A série acima converge para f(t) em todos os t e o gráfico é o esboço repetido a cada 4 unidades.

Resposta

f(t)=1112+sumn=1^inftygl[(-1)^n-5n^2pi^2,cosl(tfracnpi t2r) +l(-(-1)^nnpi+4l(1-(-1)^nr)n^3pi^3r),sinl(tfracnpi t2r)gr]

Exercícios relacionados